Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 4.2.2016 (05:55)

  W załączniku jest rysunek w formacie PDF, a także plik ZIP zawierający ten sam rysunek w formacie GGB używanym przez program "Geogebra", który bardzo polecam jak chcesz się pobawić.
  Przepraszam, zamieniłem miejscami punkty C i D w stosunku do opisanych w zadaniu.
  
  Dowód (częściowo analityczny).
  Jeżeli trójkąty AEC i BED [ nie zaznaczone na rysunku ] są prostokątne to punkt E musi leżeć na przecięciu okręgów o środkach w punktach F i H będących środkami boków BD i AC i promieniach równych połowom długości odcinków BD i AC [ gdyż kąty wpisane oparte na średnicy okręgu są proste ].
  
  W zależności od kształtu trapezu mogą być 2 takie punkty (E, G), jeden lub żaden.
  Dla "ustalenia uwagi" powiedzmy, że są dwa.
  Odcinek EG jest prostopadły do FH jako przekątna zielonego deltoidu.
  Ponieważ FH jest równoległy do AB to EG jest prostopadły do AB.
  
  Teraz wystarczy udowodnić,
  że punkt S przecięcia się przekątnych trapezu leży na odcinku EG.
  
  Wprowadźmy układ współrzędnych tak, że punkt A jest jego środkiem, punkt B leży na osi OX, i współrzędne wierzchołków trapezu wynoszą:
  A = (0; 0), B = (0, xB), C = (xC, h), D = (xD, h)
  
  Piszemy równania obu okręgów. Dla okręgu po lewej stronie:
  
  \left(x-\frac{x_C}{2} \right )^2+\left(y-\frac{h}{2} \right )^2=\frac{x_C^2+h^2}{4}
  
  Okrąg po prawej stronie:
  
  \left(x-\frac{x_B+x_D}{2} \right )^2+\left(y-\frac{h}{2} \right )^2=\frac{(x_D-x_B)^2+h^2}{4}
  
  Jak się wymnoży kwadraty i odejmie stronami pierwsze równanie od drugiego to wychodzi prosty związek na współrzędną "x" punktów przecięcia:
  
  x_B x_D - x (x_B-x_C+x_D) = 0
  
  Ponieważ xD > xC i zakładamy w konstrukcji, że xB > 0 to równanie ma jedno rozwiązanie ( o ile w ogóle okręgi mogą się przecinać to punkty przecięcia leżą na prostej prostopadłej do osi OX ).
  
  Policzymy teraz, gdzie przecinają się przekątne trapezu.
  Równania prostych AD i BC to odpowiednio:
  
  y=\frac{h}{x_D}x\qquad\mbox{oraz}\qquad y=-\frac{h}{x_B-x_C}x+\frac{x_Bh}{x_B-x_C}
  
  Porównujemy prawe strony obu równań i dostajemy na "x" punktu S rozwiązanie:
  
  x = \frac{x_B x_D}{x_B-x_C+x_D}
  
  czyli takie samo "x" jak poprzednio co oznacza, że punkt S leży na prostej EG,
  a ponieważ ta prosta jest prostopadła do AB to mamy dowód twierdzenia z zadania.
  ==================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Załączniki

  • trapez.pdf (6 KB)

  • trapez.zip (12 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie