We wszystkich tych zadaniach stosujemy kryterium porównawcze w dwóch wersjach:
Zadania (1) i (3):
Jeżeli wyraz a_n ciągu tworzącego szereg spełnia nierówność: b_n < a_n < c_n
i szeregi b_n oraz c_n są zbieżne to szereg b_n jest zbieżny.
Zadanie (2)
Jeżeli wyraz a_n ciągu tworzącego szereg spełnia nierówność: a_n < c_n
i szereg c_n jest rozbieżny to szereg b_n jest rozbieżny.
Poza tym dla wartości x bliskich zeru można rozwinąć funkcję sin(x) w szereg:
\sin x \,\approx\, x -\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - ...
czyli sin(x) "zachowuje się" jak "x" dla małych x.
Dodatkowo dla małych DODATNICH "x" z rozwinięcia w szereg wynikają dwie nierówności:
(*1*) sin(x) < x <------ przyda się w zadaniach 1 i 3
(*2*) sin(2x) > x <------ przyda się w zadaniu 2
[ ta druga nierówność - dla małych x spróbuj rozwiązać - patrz rozwinięcie w szereg - nierówność:
2x - (2x)^3 / 6 > x.
Cały przedział (0 ; pierwiastek(3) / 2 ) spełnia tą nierówność, więc w szczególności jest ona prawdziwa dla x bliskich zeru ]
===================================================
Zadanie 1.
Dla dużych n wyrażenie sin [ pi / (4^n) ] zbiega do zera, można więc napisać:
sin [ pi / (4^n) ] < pi / (4^n) ; [ nierówność *1*]
Poza tym wyrazy ciągu a_n tworzącego szereg są dodatnie, mamy więc:
b_n < a_n < c_n ; gdzie b_n 0 oraz c_n = 3^n * [ pi / (4^n) ]
Szereg c_n jest zbieżny jako szereg GEOMETRYCZNY o ilorazie q = 3/4
gdzie 0 < q < 1. (dowód na pewno był na wykładzie).
Wobec tego szereg a_n jest zbieżny
===================================================
Zadanie 3.
Ten szereg także jest zbieżny.
Zauważ, że sin(1 / n) < 1 / n i stosujemy to samo kryterium co w zadaniu (1).
b_n < a_n < c_n ; gdzie b_n = 0 oraz c_n = n^2 * (1/n) / 3^n = n / 3^n
Pokażemy, że szereg c_n jest zbieżny. Np. z kryterium "pierwiastkowego" :
Ponieważ pierwiastek_stopnia_n (n) zbiega do 1
(dowód na pewno był na wykładzie) więc wyraz c_n --> 1/3 < 1
co dowodzi zbieżności szeregu c_n.
Skoro wyrazy szeregu a_n są zawarte pomiędzy zbieżnymi szeregami b_n i c_n
to szereg b_n jest zbieżny.
===================================================
Zadanie 2.
Mamy tu sin [ 2 / pierwiastek(n) ].
Dla dużych "n" argument sinusa jest mały
i sinus "zachowuje się" jak 2 / pierwiastek(n), czyli [ patrz nierówność (*2*) powyżej ]
mamy:
sin [ 2 / pierwiastek(n) ] > 1 / pierwiastek(n)
Możemy więc napisać, że wyraz a_n > b_n gdzie:
b_n = [ 1 / pierwiastek(n) ] * [ 1 / pierwiastek(n) ] = 1 / n.
Szereg b_n = 1 / n jest rozbieżny (dowód na pewno był na wykładzie)
czyli na podstawie kryterium porównawczego szereg a_n jest rozbieżny
===================================================
W razie pytań albo jeśli robiliście to inaczej na ćwiczeniach pisz proszę na priv.
lub
zarejestruj nowe konto.
0 0
antekL1 30.1.2016 (07:47)
We wszystkich tych zadaniach stosujemy kryterium porównawcze w dwóch wersjach:
Zadania (1) i (3):
Jeżeli wyraz a_n ciągu tworzącego szereg spełnia nierówność: b_n < a_n < c_n
i szeregi b_n oraz c_n są zbieżne to szereg b_n jest zbieżny.
Zadanie (2)
Jeżeli wyraz a_n ciągu tworzącego szereg spełnia nierówność: a_n < c_n
i szereg c_n jest rozbieżny to szereg b_n jest rozbieżny.
Poza tym dla wartości x bliskich zeru można rozwinąć funkcję sin(x) w szereg:
\sin x \,\approx\, x -\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - ...
czyli sin(x) "zachowuje się" jak "x" dla małych x.
Dodatkowo dla małych DODATNICH "x" z rozwinięcia w szereg wynikają dwie nierówności:
(*1*) sin(x) < x <------ przyda się w zadaniach 1 i 3
(*2*) sin(2x) > x <------ przyda się w zadaniu 2
[ ta druga nierówność - dla małych x spróbuj rozwiązać - patrz rozwinięcie w szereg - nierówność:
2x - (2x)^3 / 6 > x.
Cały przedział (0 ; pierwiastek(3) / 2 ) spełnia tą nierówność, więc w szczególności jest ona prawdziwa dla x bliskich zeru ]
===================================================
Zadanie 1.
Dla dużych n wyrażenie sin [ pi / (4^n) ] zbiega do zera, można więc napisać:
sin [ pi / (4^n) ] < pi / (4^n) ; [ nierówność *1*]
Poza tym wyrazy ciągu a_n tworzącego szereg są dodatnie, mamy więc:
b_n < a_n < c_n ; gdzie b_n 0 oraz c_n = 3^n * [ pi / (4^n) ]
Szereg c_n jest zbieżny jako szereg GEOMETRYCZNY o ilorazie q = 3/4
gdzie 0 < q < 1. (dowód na pewno był na wykładzie).
Wobec tego szereg a_n jest zbieżny
===================================================
Zadanie 3.
Ten szereg także jest zbieżny.
Zauważ, że sin(1 / n) < 1 / n i stosujemy to samo kryterium co w zadaniu (1).
b_n < a_n < c_n ; gdzie b_n = 0 oraz c_n = n^2 * (1/n) / 3^n = n / 3^n
Pokażemy, że szereg c_n jest zbieżny. Np. z kryterium "pierwiastkowego" :
pierwiastek_stopnia_n (n / 3^n) = (1/3) * pierwiastek_stopnia_n (n).
Ponieważ pierwiastek_stopnia_n (n) zbiega do 1
(dowód na pewno był na wykładzie) więc wyraz c_n --> 1/3 < 1
co dowodzi zbieżności szeregu c_n.
Skoro wyrazy szeregu a_n są zawarte pomiędzy zbieżnymi szeregami b_n i c_n
to szereg b_n jest zbieżny.
===================================================
Zadanie 2.
Mamy tu sin [ 2 / pierwiastek(n) ].
Dla dużych "n" argument sinusa jest mały
i sinus "zachowuje się" jak 2 / pierwiastek(n), czyli [ patrz nierówność (*2*) powyżej ]
mamy:
sin [ 2 / pierwiastek(n) ] > 1 / pierwiastek(n)
Możemy więc napisać, że wyraz a_n > b_n gdzie:
b_n = [ 1 / pierwiastek(n) ] * [ 1 / pierwiastek(n) ] = 1 / n.
Szereg b_n = 1 / n jest rozbieżny (dowód na pewno był na wykładzie)
czyli na podstawie kryterium porównawczego szereg a_n jest rozbieżny
===================================================
W razie pytań albo jeśli robiliście to inaczej na ćwiczeniach pisz proszę na priv.
Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie