Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 1

  antekL1 17.1.2016 (23:23)

  Zostałem op..., że nie używam "matematycznego" zapisu więc spróbuję się poprawić używając LaTeX'a. Nie wiem, czy macie taką samą notację - w szczególności ] a; b [ oznacza przedział otwarty (znaczki ] [ zamiast ( ), tak mnie uczono, jest to wygodniejsze :)
  
  f(x) = ln (sin x )
  
  Ponieważ sin(x) jest funkcją okresową z okresem 2 pi to f(x) także jest okresowa. Dlatego dodaję często magiczne "2 k pi" do opisu.
  
  1.
  Pod logarytmem ma być wartość dodatnia dlatego funkcja jest określona tam, gdzie sinus jest dodatni, czyli dla ] 0 ; pi [ (plus 2 k pi). Dziedzina D jest sumą otwartych przedziałów:
  [ Duża litera U to suma zbiorów, R - liczby rzeczywiste, Z - liczby całkowite ]
  
  D = \left\{x\in R: x\in \bigcup\limits_k\,\,]\,2k\pi;(2k+1)\pi\,[\right\}\qquad\mbox{gdzie}\qquad k\in Z
  
  2.
  Wartość zeru funkcja przyjmuje gdy sin(x) = 1 czyli dla pi / 2 + 2 k pi.
  Zbiór miejsc zerowych X_0 to:
  
  X_0 = \left\{x\in R: x = \frac{\pi}{2}+2k\pi\right\}\qquad\mbox{gdzie}\qquad k\in Z
  
  3, 4.
  Pochodna: f(x) jest funkcją złożoną f ( z ( x ) )
  gdzie funkcja zewnętrzna f(z) = ln(z) oraz funkcja wewnętrzna z(x) = sin(x).
  Ze wzoru na pochodną funkcji złożonej (czyli iloczyn pochodnych funkcji) mamy:
  
  f'(x)=f'(z)\cdot z'(x)=(\ln z)'\cdot (\sin x)'=\frac{1}{z}\cdot\cos x=\frac{\cos x}{\sin x}=\mbox{ctg}\,x
  
  W przedziale ] 0; pi [ kotangens jest dodatni od zera do pi/2 i ujemny od pi/2 do pi.
  Pochodna zeruje się dla x = pi/2 i zmienia znak więc są tam maksima.
  
  Zbiór maksimów f(x) jest identyczny ze zbiorem miejsc zerowych X_0
  
  Funkcja jest rosnąca w sumie przedziałów ] 0; pi/2 [ (plus 2 k pi)
  czyli w zbiorze X+ określanym tak:
  
  X_+ = \left\{x\in R: x\in \bigcup\limits_k\,\,]\,2k\pi;(2k+1/2)\pi\,[\right\}\qquad\mbox{gdzie}\qquad k\in Z
  
  Funkcja jest malejaca w sumie przedziałów ] pi/2; pi [ (plus 2 k pi)
  czyli w zbiorze X- określanym tak:
  
  X_- = \left\{x\in R: x\in \bigcup\limits_k\,\,]\,(2k+1/2)\pi;(2k+1)\pi\,[\right\}\qquad\mbox{gdzie}\qquad k\in Z
  
  5.
  Z powodu okresowości f(x) nie ma asymptot poziomych lub ukośnych. ma za to asymptoty pionowe tam, gdzie sin(x) = 0, czyli dla zbioru A takiego:
  
  A = \left\{x\in R: x = k\pi\right\}\qquad\mbox{gdzie}\qquad k\in Z
  
  6, 7.
  Liczymy drugą pochodną. Tu już mamy prosty wzór na pochodną ilorazu:
  
  f''(x)=\frac{-\sin x\cdot \sin x -\cos x\cdot\cos x}{\sin^2 x}=\frac{-1}{\sin^2 x}
  
  Ponieważ w mianowniku jest kwadrat sinusa to f ' ' (x) < 0 w całej dziedzinie.
  NIE ma punktów przegięcia.
  
  Nigdy nie wiem, kiedy funkcja jest wypukła, kiedy wklęsła, zresztą nawet Wikipedia mówi, że różnie się to określa. Sprawdź proszę, jak na wykładzie definiowano wklęsłość / wypukłość, gdy druga pochodna jest ujemna.
  
  8.
  Patrz załącznik. To jest wykres w przedziale [ 0,01 ; pi - 0,01 ].
  Jak chcesz więcej to powtarzaj ten sam kształt co 2 pi.
  Zauważ, że wykres jest symetryczny względem pionowej prostej x = pi / 2.
  UWAGA: Skale na osiach X i Y są różne !
  =====================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Załączniki

  • wykres.pdf (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie