Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 15.1.2016 (23:58)

  [ litera "n" to iloczyn zbiorów, litera "u" to suma zbiorów ]
  
  Oznaczmy
  M - zbiór maszyn, a także zdarzenie, że maszyna wyprodukowała dany wyrób. Składa się on z rozłącznych zbiorów maszyn typu A, B, C, przy czym
  M = A u B u C
  
  Prawdopodobieństwa p(A), p(B), pC) to szanse, że dany wyrób jest produkowany przez maszynę typu A, B lub C. Ponieważ maszyn razem jest 10 i pracują jednakowo wydajnie to:
  
  p(A) = 4 / 10 = 2 / 5
  p(B) = 4 / 10 = 2 / 5
  p(C) = 2 / 10 = 1 / 5
  
  Oczywiście p(A) + p(B) + p(C) = 1 ; wynika to z definicji zbiorów A, B, C.
  
  W - (od "wada") zdarzenie polegające na wyprodukowaniu braku.
  Iloczyn zdarzeń W n M oznacza "brak wyprodukowała maszyna.
  
  p(W n M) - prawdopodobieństwo pojawienia się braku. Z określenia zbioru M wynika, że zachodzi równość:
  
  p(W n M) = p(W n A) + p(W n B) + p(W n C)
  =================
  
  a)
  Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo warunkowe.
  p(W | A) = 0,10 ; 10% braków pod warunkiem, że wyrób pochodzi z maszyny A
  p(W | B) = 0,05 ; 5% braków pod warunkiem, że wyrób pochodzi z maszyny B
  p(W | C) = 0,15 ; 15% braków pod warunkiem, że wyrób pochodzi z maszyny C
  
  Mamy związki:
  p(W n A) = p(W | A) * p(A) ; i tak samo dla B i C.
  
  Szukane w zadaniu prawdopodobieństwo wynosi:
  
  p(W n M) = p(W | A) * p(A) + p(W | B) * p(B) + p(W | C) * p(C)
  
  p(W n M) = 0,10 * (2 / 5) + 0,05 * (2 / 5) + 0,15 * (1 / 5) = 0,09
  =================
  
  b)
  Wiemy, że wyrób jest brakiem. To, co liczymy, oznaczamy w taki sposób
  p(B | W) - produkt pochodzi z B pod warunkiem, że jest wadliwy.
  Stosujemy wzór Bayes'a (dowód na pewno był na lekcji, jeśli nie i w razie innych pytań pisz proszę na priv).
  
  p(B | W) = p(W | B) * p(B) / p(W n M)
  
  To, co w mianowniku, policzyliśmy w punkcie (a).
  
  p(B | W) = 0,05 * (2 / 5) / 0,09 = 2 / 9 = około 0,22
  =================
  
  Zauważ, że szansa na to, że brak był wyprodukowany przez maszynę B jest prawie dwukrotnie mniejsza od szansy na to, że wyrób był w ogóle produkcji B [ p(B) = 2/5 = 0,4 ]. Jest tak dlatego, że maszyny typu B mają najniższy procent produkcji braków. Policzyłem z ciekawości p(A | W) i p(C | W). Wyniki to:
  p(A | W) = 4 / 9 = 0,44
  p(C | W) = 3 / 9 = 0,33
  Razem oczywiście p(A | W) + p(B | W) + p(C | W) = (4+2+1) / 9 = 1,
  bo coś musiało ten brak zrobić :)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie