Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 14.1.2016 (16:09)

  Szachista A i B rozgrywają pięć partii, szachista ma prawdopodobieństwo na wygraną 0,8, a B 0,6. Oblicz jakie prawdopodobieństwo na wygraną w conajmniej dwóch partiach ma A.
  
  To, co piszę poniżej jest prawdopodobnie błędne, ale z rozmów w komentarzach wynika, że nie ma informacji o remisach, więc ułożyłem sobie dwa modele. Przed kolokwium i tak nie zdążę :(
  W obu modelach liczymy szansę na wygraną gracza A w jednej partii, dalej to już jest proste.
  =========================
  
  Model 1 - zakładający istnienie remisów.
  Zbiór zdarzeń (wyników jednej gry) jest całkowicie pokryty przez zdarzenia:
  A - wygrywa gracz A
  B - wygrywa gracz B
  Ponieważ p(A) + p(B) = 0,8 + 0,6 > 1 więc musi istnieć niepusty zbiór A n B.
  Ten zbiór ("obaj gracze wygrywają") INTERPRETUJĘ jak remis.
  
  Mamy:
  p(A u B) = 1 = p(A) + p(B) - p(A n B) czyli:
  p(A n B) = p(A) + p(B) - 1 = 0,8 + 0,6 - 1 = 0,4.
  
  Możemy teraz obliczyć:
  A1 = A - (A n B) = obszar pewnych wygranych gracza A
  p(A1) = p(A) - p(A n B) = 0,8 - 0,4 = 0,4
  B1 = B - (A n B) = obszar pewnych wygranych gracza B
  p(B1) = p(B) - p(A n B) = 0,6 - 0,4 = 0,2
  
  Mamy obszar wyników podzielony na 3 ROZŁĄCZNE strefy:
  A1 [ p(A1) = 0,4 ] - wygrane gracza A
  B1 [ p(B1) = 0,2 ] - wygrane gracza B
  A n B [ p (A n B) = 0,4 - remisy.
  
  Liczymy to "co najmniej" z zadania. Wygodniej jest liczyć 0 lub 1 wygranych gracza A.
  Zero wygranych - ze schematu Bernoullego - ma szansę:
  P(0) = (5 nad 0) * p(A1)^0 * [ 1 - p(A1) ] ^5 = 0,6^5 = około 0,07776
  Jedna wygrana - ze schematu Bernoullego - ma szansę:
  P(1) = (5 nad 1) * p(A1)^1 * [ 1 - p(A1) ] ^4 = 5 * 0,4 * 0,6^4 = około 0.2592
  
  Szukana w zadaniu szansa:
  P = 1 - P(0) - P(1) = około 0,663 ; no tak, to jest rzędu 2/3, ale NIE dokładnie.
  
  (policzyłem też programem sumę 2, 3, 4 lub 5 wybranych - ten wynik się zgadza)
  =========================
  
  Model 1 - zakładający brak remisów, mniej realny, ale łatwiejszy w liczeniu.
  Stosunek "sił" gracza A do B wynosi x = 0,8 / 0,6 = 4 / 3.
  Jeżeli więc weźmiemy dużo meczów po 4 + 3 = 7 gier (bez remisów)
  to gracz A wygra 4/7 z nich, gracz B pozostałe 3/7.
  
  Wrzucamy p = 4/7 w "maszynkę" jak w pierwszym modelu:
  Zero wygranych - ze schematu Bernoullego - ma szansę:
  P(0) = (5 nad 0) * (4/7)^0 * (3/7) ^5 = (3/7)^5 = około 0.0144583
  Jedna wygrana - ze schematu Bernoullego - ma szansę:
  P(1) = (5 nad 1) * (4/7)^1 * (3/7) ^4 = 5 * 0,4 * 0,6^4 = około 0.0963884
  
  Szukana w zadaniu szansa:
  P = 1 - P(0) - P(1) = około 0,89
  
  Jak widać - zdecydowanie większy wynik.
  Ale się nie dziwię - rezygnacja z remisów zwiększa szanse gracza A na 2+ wygranych, bo w końcu jest silniejszy.
  [ 2+ czytaj jak w brydżu - ktoś ma np. 5+ kierów, czyli 5 lub więcej ]
  =========================
  
  Proszę, napisz (na priv podałem adres) co o tym myślisz i jak - jeżeli w ogóle - odbyła się dyskusja nad tym zadaniem ?

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie