Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 3.1.2016 (16:23)

  Plik 5.20zad.pdf ; zadanie (z1)
  
  Zbiór zdarzeń elementarnych Omega to zbiór par (a;b)
  gdzie a, b są elementami zbioru { 1;2;3;4;5;6 }
  Kolejność a, b JEST istotna - zdarzenie (1;6) to co innego niż (6;1)
  Ilość zdarzeń elementarnych to ilość wariacji z powtórzeniami 2 z 6 czyli
  
  \bar{\bar\Omega}=6^2=36
  
  Zdarzenia sprzyjające to takie pary, gdzie na jednej z kostek jest 6,
  a na drugiej 1, 3, lub 5 [ bo suma oczek ma być nieparzysta ].
  Zdarzenie (6,6) NIE spełnia warunków zadania. Czyli zbiór zdarzeń sprzyjających to:
  
  A = { (1;6), (3;6), (5;6), (6;1), (6;3), (6;5) }
  
  Jest 6 zdarzeń sprzyjających. Prawdopodobieństwo p(A) wynosi:
  
  p(A)= \frac{\bar{\bar{A}}}{\bar{\bar\Omega}}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}
  
  ================================
  
  Plik 5.20zad.pdf ; zadanie (z2)
  
  Zbiór zdarzeń elementarnych Omega to zbiór trójek (a;b;c)
  gdzie a, b, c są elementami zbioru { 1;2;3;4;5;6 }
  Kolejność a, b, c JEST istotna podobnie jak w poprzednim zadaniu.
  Ilość zdarzeń elementarnych to ilość wariacji z powtórzeniami 3 z 6 czyli
  
  \bar{\bar\Omega}=6^3=216
  
  Zdarzenia sprzyjające to trójki postaci (a;3;b) gdzie a + b + 3 = 13,
  czyli a + b = 10. Warunek ten spełniają następujące trójki:
  
  A = { (4;3;6), (6;3;4), (5;3;5) }
  
  Jest 3 zdarzenia sprzyjające. Prawdopodobieństwo p(A) wynosi:
  
  p(A)= \frac{\bar{\bar{A}}}{\bar{\bar\Omega}}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}
  
  ================================
  
  Plik 5.21zad.pdf ; zadanie (z1)
  W urnie jest w sumie 6 + 4 = 10 kul z których losujemy 3.
  Zdarzenie elementarne to wylosowanie trójki (a;b;c)
  gdzie a, b, c są elementami zbioru { biała; czarna } [ w skrócie: { B; C } ]
  Kolejność losowania NIE jest istotna. W tym wypadku ilość zdarzeń elementarnych to ilość kombinacji 3 z 10 czyli:
  
  \bar{\bar\Omega}={10\choose 3}=\frac{10!}{7!\cdot 3!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}= 120
  
  Zwróć uwagę jak liczymy symbol Newtona "10 nad 3". "Skracamy" trochę z 10! z 7!, co daje iloczyn liczb 10*9*8 i dzielimy to przez 3! = 3*2*1. Dalej uzywam tej metody juz bez pośrednich obliczeń.
  
  a)
  Losujemy 3 kule białe z 4 (ilość możliwości = ilość kombinacji 3 z 4)
  oraz 0 kul czarnych z 6 (formalnie ilość możliwości przyjmujemy za 1).
  [ Pisz proszę na priv, jeśli to "6 nad 0 = 1" jest niejasne ]
  Ilość zdarzeń sprzyjających to:
  
  \bar{\bar{A}}={4\choose 3}\cdot {6 \choose 0}=4\cdot 1=4
  
  Prawdopodobieństwo:
  
  p(A)= \frac{\bar{\bar{A}}}{\bar{\bar\Omega}}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}
  
  b)
  Mamy dwa ROZŁĄCZNE zdarzenia B
  B1 - dokładnie 2 czarne z 6 i 1 biała z 4
  B2 - wszystkie 3 czarne z 6 i zero białych z 4.
  Używamy metody jak w (a) czyli iloczynu symboli Newtona.
  Można dodać p(B) = p(B1) + p(B2) bo B1 i B2 są rozłączne.
  
  \bar{\bar{B}}={4\choose 1}\cdot {6 \choose 2} + {4\choose 0}\cdot {6 \choose 3}=4\cdot 15+1\cdot 20 = 80
  
  Prawdopodobieństwo:
  
  p(B)= \frac{\bar{\bar{B}}}{\bar{\bar\Omega}}=\frac{80}{120}=\frac{2}{3}
  
  ================================
  
  Plik 5.21zad.pdf ; zadanie (z2)
  To jest zadanie na prawdopodobieństwo warunkowe. Nie jest to powiedziane w zadaniu, ale załóżmy, że każdy z portfeli losujemy z jednakowym prawdopodobieństwem, równym 1/2. Nazwijmy zdarzenia:
  
  A - losowanie dwóch banknotów z portfela, takich że ich suma wartości = 150 zł
  B - losowanie portfela
  Zdarzenie B jest sumą dwóch przeciwnych ( a więc i rozłącznych) zdarzeń :
  B1 - losowanie pierwszego portfela
  B2 - losowanie pierwszego portfela
  Wiem z założenia, że p(B1) = p(B2) = 1/2.
  
  Całe doświadczenie polega na zajściu ILOCZYNU zdarzeń A i B,
  mamy więc policzyć coś takiego:
  
  p(A n B) = p(A n B1) + p(A n B2) [ wolno dodać bo B1 i B2 są rozłączne ]
  
  Wyrażamy to teraz z użyciem prawdopodobieństw warunkowych.
  Oznaczamy:
  A | B1 - zdarzenie: dostaniemy 150 zł losując z portfela numer 1
  A | B2 - zdarzenie: dostaniemy 150 zł losując z portfela numer 2
  Ze wzoru, który na pewno był na lekcjach, mamy:
  
  p(A n B) = p(A | B1) * p(B1) + p(A | B2) * p(B2)
  
  Musimy obliczyć p(A | B1) oraz p(A | B2) ;
  znamy (patrz wyżej) p(B1) = p(B2) = 1/2.
  
  Poniżej jest "nieformalny" sposób tego liczenia [ formalnie liczę dalej p(A | B2) ]
  
  Liczymy p(A | B1) "na szybko"
  
  Losujemy z pierwszego portfela. Aby zrealizować 150 zł w dwóch banknotach mamy tylko jedną możliwość - stówa i pięćdziesiątka. Czyli losujemy stówę na 6 sposobów i pięćdziesiątkę na 3 sposoby. Mamy więc
  6 * 3 = 18 możliwych układów
  Ilość losowań 2 banknotów z 6+3 = 9 wszystkich banknotów to: 9 * 8 / 2 = 36.
  [ pierwszy banknot na 9 sposobów, drugi na 8 sposobów, a dzielimy na 2 bo kolejność NIE jest ważna ].
  
  Mamy:
  p(A | B1) = 9 / 36 = 1 / 4.
  
  Liczymy formalnie p(A | B2)
  Zbiór zdarzeń elementarnych to zbiór par (a, b) [ kolejność nieistotna ]
  gdzie "a" jest jednym z 3 + 7 = 10 banknotów, "b" - innym.
  Ilość możliwych wyborów pary banknotów to ilość kombinacji 2 z 10 czyli:
  
  \bar{\bar{\Omega}}={10 \choose 2} = \frac{10\cdot 9}{2}=45
  
  Zdarzeniem sprzyjającym jest wyciągnięcie jednego banknotu 100zł z 3
  i jednego banknotu 50zł z 7.
  
  \overline{\overline{A|B_2}}={3 \choose 1} \cdot{7 \choose 1}=3\cdot 7= 21
  
  Prawdopodobieństwo p(A | B2) = 21 / 45 = 7 / 15.
  
  Mamy składowe. Teraz stosujemy pełny wzór:
  
  p(A n B) = p(A | B1) * p(B1) + p(A | B2) * p(B2)
  p(A n B) = (1/4) * (1/2) + (7/15) * (1/2) = 43 / 120 = około 0,36
  
  Wychodzi mniej niż 0,5 czyli NIE mamy p = 0,5 szans na wyjęcie 150 zł.
  ================================
  
  Jeśli się gdzieś pomyliłem lub coś jest niejasne to pisz proszę na priv.
  
  Szczęśliwego Nowego Roku!
  Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    antekL1 3.1.2016 (19:57)

    Nie dopisałem jeszcze tego kontrowersyjnego znaczenia symbolu Newtona
    "4 nad 0" [ tu nie mogę użyć LaTeX'a ]. Pojawiło się to w zadaniu z1-b.
    To jest ogólne prawo:
    Jeśli z "N" elementów losujemy wszystkie albo nic to możemy to zrobić tylko na JEDEN sposób.
    Ilość zdarzeń określana takimi symbolami Newtona jest jedynką:
    
    (N nad 0) = (N nad N) = 1