Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 3.1.2016 (10:23)

  [ Czytaj proszę ^ jako "do potęgi", np: 10^7 to "10 do potęgi 7" ]
  
  1.
  Dane:
  R = 2 * 10^7 m - promień planety
  g = 25 m/s^2 - przyspieszenie grawitacyjne
  G = 6,67 * 10^(-11) N * m^2 / kg^2 - stała grawitacyjna [ z tablic ]
  Szukamy:
  M - masa planety
  
  Używamy wzoru na przyspieszenie grawitacyjne:
  
  g = G M / R^2 ; stąd:
  
  M = g R^2 / G = 25 * (2 * 10^7)^2 / [ 6,67 * 10^(-11) ] = około 1,5 * 10^26 kg
  
  Sprawdzamy wymiar wyniku:
  [ M ] = (m/s^2) * m^2 / ( N * m^2 / kg^2 ) = m * kg^2 / ( N * s^2 ) =
  = m * kg^2 * s^2 / ( kg * m * s^2 ) = kg. Zgadza się - wynik jest w kg.
  =================================
  
  2.
  Dane:
  m = 15 kg - masa pocisku
  F = 1,7 kN = 1700 N - siła działająca na pocisk w lufie
  L = 2 m - długość lufy
  Szukane wielkości są określane w podpunktach zadania.
  
  a)
  Zakładamy, że siła działająca na pocisk w lufie jest stała. Na drodze L wykonuje ona pracę W. Ta praca zamienia się na energię kinetyczną Ek pocisku przy wylocie lufy. Pocisk ma wtedy prędkość v. Mamy równania:
  
  W = F L ; [ praca = siła razy droga ]
  Ek = m v^2 / 2 ; porównujemy prawe strony:
  m v^2 / 2 = F L ; stąd:
  
  v = pierwiastek ( 2 F L / m ) = pierwiastek ( 2 * 1700 * 2 / 15 )
  v = około 21,3 m/s
  Sprawdzamy wymiar wyniku:
  [ v ] = pierwiastek ( N * m / kg ) = pierwiastek ( kg*m/s^2 * m / kg ) =
  = pierwiastek ( m^2 / s^2 ) = m/s. Zgadza się.
  
  b)
  Oznaczmy:
  h - wysokość (liczona od POCZĄTKU lufy) na którą doleci pocisk
  g = 10 m/s^2 - przyspieszenie ziemskie
  
  Praca W = F L jest równa zmianie energii potencjalnej pocisku (istotne jest, że wysokość liczymy od początku, nie od wylotu lufy bo te 2 metry lufy to też wkład do zmiany energii potencjalnej).
  
  F L = m g h ; stąd:
  h = F L / (m g ) = 1700 * 2 / (15 * 10) = 22 i 2/3 m
  Sprawdzamy wymiar:
  [ h ] = N * m / (kg * m/s^2) = N * m / N = m. Zgadza się, wynik mamy w metrach.
  
  c)
  Szukany czas t składa się z dwóch czasów t1 + t2.
  
  t1 - czas, po którym pocisk wytraci swoją początkową prędkość v, obliczoną wyżej.
  Używamy wzoru na ruch jednostajnie opóźniony:
  v - g t1 = 0 ; stąd:
  t1 = v / g = 21,3 / 10 = 2,13 s
  Wymiar [ t1 ] = m/s / (m/s^2) = s
  
  t2 - czas spadku z wysokości h, obliczonej wyżej
  h = g t2^2 / 2 ; stąd
  t2 = pierwiastek (2 h / g) = pierwiastek ( 2 * 22,667 / 10) = około 2,13 s
  Wymiar [ t 2 ] = pierwiastek (m / (m/s^2) = pierwiastek (s^2) = s.
  
  Łączny czas t = 2,13 + 2,13 = 4,26 s
  =================================
  
  3.
  Dane:
  t1 = 650 C - temperatura w której okres drgań wynosi 10 s
  t2 = 70 K = 323 C - nowa temperatura wahadła
  alfa = 23 * 10^(-6) 1/K - współczynnik rozszerzalności cieplnej aluminium
  T1 = 10 s - okres drgań w wyższej temperaturze.
  Szukamy:
  T2 - okres drgań w niższej temperaturze.
  
  Okres drgań wahadła zależy od jego długości L. Mamy dwa wzory:
  T2 = pierwiastek (L2 / g) - okres w niższej temperaturze
  T1 = pierwiastek (L1 / g) - okres w wyższej temperaturze
  Dzielimy stronami. Skraca się "g" i mamy stosunek okresów:
  
  T2 / T1 = pierwiastek (L2 / L1)
  
  Szukamy stosunku długości L2 / L1.
  Pamiętaj, że wzór: L = L0 * (1 + alfa * t)
  odnosi się do temperatury w stopniach Celsjusza, a L0 jest długością w 0 C.
  Czyli:
  L2 = L0 (1 + alfa * t2)
  L1 = L0 (1 + alfa * t1) ; dzielimy stronami:
  L2 / L1 = (1 + alfa * t2) / (1 + alfa * t1) ; mamy szukany stosunek długości.
  Wstawiamy dane:
  
  L2 / L1 = (1 + 23 * 10^(-6) * 323) / (1 + 23 * 10^(-6) * 650) = około 0,9925897827
  Wstawiamy ten stosunek do wzoru na T2/T1 (L2/L1 musi być dokładnie policzone, bo jest prawie równe jedynce)
  
  T2 / T1 = pierwiastek(0,9925897827) = 0.9962880019 ; stąd:
  
  T2 = 10 * 0,9962880019 = około 9,963 s
  (Końcowy wynik zaokrąglamy, bo nie ma sensu podawać go dokładniej niż dane do zadania. Jak widać zmiana wynosi zaledwie około 0,007 s na 10 s czyli 0,07 %, ale istnieje. Zegar z takim wahadłem miałby niedokładność około minuty na dobę w zależności od temperatury.
  =================================
  
  4.
  Dane:
  m = 2 kg - masa kuli
  tp = 100 C - początkowa temperatura kuli
  tk = 600 K = 873 C - końcowa temperatura kuli
  Ct = 30 kJ/kg = 30000 J/kg - ciepło topnienia ołowiu
  Cw = 100 J / (kg * C) - ciepło właściwe ołowiu [ poprawiłem wymiar ].
  Szukamy
  v - prędkość kuli.
  
  Energia kinetyczna kuli całkowicie zamienia się na sumę ciepła Q1 + Q2 gdzie:
  Q1 - ciepło potrzebne do ogrzania kuli od tp do tk
  Q2 - ciepło potrzebne do stopienia kuli.
  
  m v^2 / 2 = m Cw (tk - tp) + m Ct ; skraca się masa i dostajemy:
  
  v = pierwiastek [ 2 Cw (tk - tp) + 2 Ct ]
  v = pierwiastek [ 2 * 100 * (873 - 100) + 2 * 30000 ] = około 463 m/s
  
  Sprawdzamy wymiar wyniku:
  [ v ] = pierwiastek [ J / (kg * C) * C + J /kg ] = pierwiastek [ N * m / kg ] =
  = pierwiastek [ kg * m/s^2 * m / kg ] = pierwiastek(m^2/s^2) = m/s. Zgadza się :)
  =================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie