Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 21.12.2015 (17:26)

  Patrz proszę rysunek w załączniku (skala nie jest zachowana)
  Prostokąt, o którym mowa w zadaniu, to czerwony prostokąt DEFG.
  Odcinek CH o długości h jest wysokością trójkąta ABC.
  Odcinki AD i EB mają długość x.
  Bok DE prostokąta ma długość b, bok DF ma długość a.
  
  Zauważ, że jeżeli odcinek "x" jest mały to prostokąt jest długi, ale niski i ma małe pole. Podobnie jeśli "x" jest duże, to prostokąt jest wysoki ale chudy i też ma małe pole. Dla jakiegoś "x" mamy największe pole i tą wartość "x" chcemy znaleźć.
  
  Znamy długości odcinków |AB| = 20 (czyli |AH| = 10) ; |AC| = 12,5.
  Z tw. Pitagorasa w prostokątnym trójkącie AHC liczymy wysokość h
  [ zaraz zobaczysz, po co ]
  
  h = pierwiastek ( 12,5^2 - 10^2 ) = 7,5 cm
  
  Trójkąty ADF i AHC są podobne więc mamy proporcję do wyliczania "a"
  w zależności od "x" (po to była potrzebna wysokość trójkąta)
  
  a / x = h / |AH| ; czyli a = x * 7,5 / 10 = 0,75 x
  
  Drugi bok prostokąta:
  
  b = 20 - 2x
  
  Pole P prostokąta w zależności od x dane jest więc wzorem
  
  P(x) = a * b = 0,75x (20 - 2x)
  
  Jest to funkcja kwadratowa wystarczy znaleźć "x" dla jakiego ma ona maksimum.
  Miejsca zerowe P(x) to - jak można się spodziewać : x = 0 lub x = 10
  ("płaski" prostokąt lub prostokąt w kształcie szpilki).
  Dla funkcji kwadratowej ekstremum leży w połowie odległości między miejscami zerowymi, czyli dla x = 5.
  Wtedy:
  
  a = 0,75 x = 0,75 * 5 = 3,75 cm <------------ pionowy wymiar prostokąta
  b = 20 - 2 * 5 = 10 cm <---------- poziomy wymiar prostokąta.
  =====================

  Załączniki

  • trojkat.pdf (7 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie