Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 17.12.2015 (01:36)

  Zadanie "Znajdź średnią gęstość Ziemi..."
  Potrzebna jest jeszcze stała grawitacyjna G, którą bierzemy z tablic.
  G = 6,7 * 10^(-11) N * m^2 / kg^2
  
  Wzór ma przyspieszenie ziemskie:
  
  g = G M / R^2 ; gdzie M - masa Ziemi
  
  Z drugiej strony masa Ziemi wyraża się przez jej objętość V i gęstość d.
  
  M = (4/3) pi R^3 * d ; wstawiamy M do pierwszego równania:
  
  g = [ G * (4/3) pi R^3 * d ] / R^2 ; stąd wyliczamy "d"
  
  d = 3 g / ( 4 pi G R )
  
  Sprawdźmy wymiar wyniku:
  [ d ] = [ m/s^2 ] / [ (N * m^2 / kg^2) * m ] = kg^2 / (N * m^2 * s^2 ) =
  = kg^2 / [ ( kg * m/s^2 ) * m^2 * s^2 ] = kg / m^3. Zgadza się :)
  =====================================================
  
  Zadanie " "Jakie jest przyspieszenie..."
  
  Dla Ziemi mamy (patrz poprzednie zadanie)
  g = G M / R^2
  
  Dla innej planety obliczamy przyspieszenie ' a' wstawiając 2M i 2R
  g = G * 2M / (2R)^2 = (1/2) G M / R^2 = (1 / 2) g.
  Jak widać przyspieszenie grawitacyjne jest tam 2 razy mniejsze.
  =====================================================
  
  Zadanie "Na jakiej wysokości..."
  
  Znów piszemy podobne wzory, wysokość oznaczamy przez 'h'.
  Na powierzchni Ziemi:
  g = G M / R^2
  
  Na wysokości h [ czyli w odległości R + h od środka Ziemi ]
  (1/2) g = G M / (R + h)^2
  
  Dzielimy stronami pierwsze równanie przez drugie, skraca się G i M
  
  2 = (R + h)^2 / R^2 ; wyciągamy pierwiastek, mnożymy przez R
  
  R * pierwiastek(2) = R + h ; stąd:
  
  h = R [ pierwiastek(2) - 1 ] = około 0,41 R
  =====================================================
  
  Zadanie "Oblicz, w jakiej odległości..."
  Aby nie wprowadzać za dużo oznaczeń to niech będzie:
  m - masa Księżyca ; wtedy:
  81*m - masa Ziemi
  d = 60 R - odległość środków Ziemi i Księżyca
  
  x - szukana odległość (od środka Ziemi)
  
  Piszemy równania na natężenie pola grawitacyjnego i porównujemy
  (Ziemia po prawej, Księżyc po lewej stronie równania)
  
  G * 81* m / x^2 = G m / (d - x)^2 ; skracamy G i m, mnożymy "na krzyż"
  
  81 (d - x)^2 = x^2
  
  Daje to dwie możliwości:
  * Albo 9 ( d - x ) = x ; stąd x1 = (9 / 10) d
  * Albo 9 ( d - x ) = - x ; stąd x2 = (9 / 8) d ; co jest większe od d !!
  
  Pierwsze z rozwiązań jest tym właściwym, podstawiamy tylko d = 60R, czyli
  x = 54 R
  
  To drugie rozwiązanie odpowiada punktowi leżącemu po przeciwnej stronie Księżyca niż Ziemia. Jest poprawne algebraicznie, gdyż w tamtym punkcie też wartości obu natężeń pola się zrównają, ale wektory obu pól będą miały ZGODNY zwrot, więc natężenie się NIE wyzeruje.
  =====================================================
  
  Zadanie "Ciało umieszczone..."
  Ponownie piszemy dwa wzory na przyspieszenie grawitacyjne g w odległości R
  i przyspieszenie ' a ' w odległości 3R + R = 4R [ bo 3R jest "od powierzchni" ]
  
  g = G M / R^2
  a = G M / (4R)^2
  ---------------------------- dzielimy stronami drugie równanie przez pierwsze
  a / g = 1 / 16.
  
  Przyspieszenie grawitacyjne będzie 16 razy mniejsze więc ciało waży
  640 / 16 = 40 N
  =====================================================
  
  Zadanie "Ciężar człowieka...."
  Na Ziemi: g = G M / R^2
  Na planecie: a = G * (4M) / (2R)^2 = G M / R^2
  
  Ciężar będzie taki sam.
  =====================================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie