Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 1

  antekL1 13.12.2015 (22:34)

  Zadanie 8.
  Najpierw udowodnijmy podobieństwo trójkątów ANB i DMB
  Kąty ANB i DNB są równe - bo przecinające się proste DB i AM)
  Kąty DMA i MAB są równe (bo równoległe proste AB i CD przecina prosta AM)
  Wobec tego trójkąty ANB i DMB mają odpowiednie kąty równe
  więc są podobne.
  
  Oznacz sobie proszę teraz na rysunku:
  P - pole całego równoległoboku (tego nie dorysowuj :)
  P1 - pole trójkąta ANB
  P2 - pole trójkąta DNB
  P3 - pole trójkąta AND
  
  Pole trójkąta ABD jest połową pola równoległoboku (bo BD jest przekątną)
  Czyli:
  
  P1 + P3 = (1/2) P <------------ równanie (1)
  
  Pole trójkąta AMD jest 1/4 pola równoległoboku. Aby tego dowieść dorysuj linię AC.
  Pole trójkąta AMD = (1/2) pola ACD, ponieważ |DM| = 1/2 |DC| (połowa boku)
  a wysokości oby trójkątów są równe (odległości linii AB od CD)
  Dtatego:
  
  P2 + P3 = (1/4) P <------------ równanie (2)
  
  Jeszcze jedną rzecz wiemy: Ponieważ |DM| = (1/2) |AB|
  (skala podobieństwa k = 1/2) to pole P2 = (1/4) P1.
  (pola mają się do siebie jak kwadrat skali podobieństwa)
  
  Odejmujemy stronami równanie (2) od równania (1) i podstawiamy P2 = P1 / 4
  Skraca się pole P3.
  
  P1 - P1 / 4 = P / 4 ; stąd:
  (3/4) P1 = P / 4 ; czyli
  
  P1 = P / 3. Zacieniowane pole jest 1 / 3 pola równoległoboku.
  ==========================
  
  Zadanie 9.
  Zauważ, że przedłużenie odcinka AB MUSI przechodzić przez punkt F,
  gdyż z podobieństwa prostokątów wynika, że kąt między przekątną a bokiem
  jest taki sam w obu prostokątach i jest to kat CAB.
  Wobec tego odcinek AB jest fragmentem przekątnej AF dużego prostokąta.
  Dorysuj proszę to przedłużenie !
  
  Pooznaczajmy długości boków pojedynczymi literami, aby tyle nie pisać :)
  W trójkącie ABC oznaczmy jak zwykle: a = |BC| ; b = |AC|; c = |AB|
  Poza tym dopiszmy: x = |BF| ; y = |CF| - jak coś się nie przyda, to sorry :)
  
  Szukamy stosunku:
  a / c lub y / b - to MUSI być ka sama liczba, bo prostokąty są podobne.
  
  Wiemy, że pole trójkąta ABC (oznaczmy je "P1" ) stanowi 40% czyli 0,4 pola
  prostokąta AEFC (oznaczmy pole tego dużego prostokąta przez P). Czyli
  
  P1 = 40% P = (2/5) P <------------ równanie (1)
  
  Pole trójkąta BFC oznaczmy przez P2 [ dorysuj to sobie ]
  Zauważ, że suma pól P1 + P2 to połowa pola P, bo AF jest przekątną AEFC
  
  P1 + P2 = (1/2) P <--------------- równanie (2)
  
  Z równań (1) i (2) po niezbyt skomplikowanych przekształceniach mamy:
  
  (5/2) P1 = 2P1 + 2P2 ; czyli
  
  P1 = 2 P2 <---- zależność (3). To ważny wynik, za chwilę da nam rozwiązanie.
  
  [ Zauważ, ze sprowadziliśmy zadanie do prostszego problemu:
  "Jaki jest stosunek długości przyprostokątnych trójkąta ABC, którego wysokość BC
  dzieli go na trójkąty, których pola są w stosunku 2 : 1" ]
  
  Wiemy z zależności (3) że [ podwoiłem pola P1 i P2 ]
  a c = 2 * a x ; czyli
  
  c = 2 x <-------- zależność (4)
  
  [ czytaj teraz proszę znaczek ^2 jako "do kwadratu" ]
  
  Pewnie było to na lekcji, jak nie - pisz na priv, że w trójkącie prostokątnym:
  zachodzi związek:
  
  a^2 = c x ; czyli ze względu na zależność (4)
  
  a^2 = c * c / 2 ; stąd: 2a^2 = c^2 ; stąd: [/b](c / a)^2 = 2[/b]
  
  Bingo! Stosunek długości |AB| : | BC| jest równy pierwiastek(2)
  
  A przecież ponieważ prostokąty ABCD i AEFC są podobne jest to odpowiedź do zadania.
  ==========================
  
  Ten dowód można pewnie zrobić jakoś prościej, ale pisałem "z ręki",
  Najważniejsze punkty to:
  - dowieść, że AB leży na przekątnej AF
  - dowieść, że P1 = 2P2
  - użyć wzoru a^2 = c x
  
  Proszę pisz na priv w razie pytań :)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    antekL1 13.12.2015 (23:53)

    No tak, rąbnąłem się, zależność (3) to:
    P1 = 4 * P2 (a nie 2 * P2)
    No i to ciągnie się dalej, prowadząc do błędnego rozwiązania.
    
    Lepsze rozwiązanie - patrz 52ewa :)
• 

  1 0

  52ewa 13.12.2015 (23:08)

  W załączniku

  Załączniki

  • 81.doc (33 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie