Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 25.11.2015 (07:21)

  Za dużo na raz!
  Proszę, zgłoś te zadania ponownie, podziel na 2 części, tylko napisz, które numery zadań (załącznik ten sam) Poniżej masz rozwiązane zadania 15 "z gwiazdką".
  =================================
  
  Zadanie 15.
  Liczbę nieparzystą można zapisać jako: 2n + 1 ; gdzie n - liczba całkowita.
  Trzy kolejne liczby nieparzyste to: 2n - 1, 2n + 1, 2n + 3
  Przykład: Dla n = 3 dostajemy z powyższych wzorów: 5, 7, 9
  
  Iloczyn tych liczb to: [ czytaj ^2 jako "do kwadratu", ^3 jako "do sześcianu" ]
  
  (2n-1)(2n+1)(2n+3) = (4n^2 - 1)(2n+3) = 8n^3 + 12n^2 - 2n - 3
  
  Największa z tych liczb to 2n+3. Najmniejsza to 2n-1. Różnica kwadratów wynosi:
  
  (2n+3)^2 - (2n-1)^2 = (4n^2 + 12n + 9) - (4n^2 - 4n + 1) = 16n + 8
  
  Z warunków zadania mamy więc równość:
  
  8n^3 + 12n^2 - 2n - 3 = 16n + 8 + 65 ; [ Tak! + 65 po prawej stronie ]
  czyli po przeniesieniu wszystkiego na lewą stronę:
  
  8n^3 + 12n^2 - 18n - 76 = 0 ; dzielimy przez 2. Mamy:
  
  4n^3 + 6n^2 - 9n - 38 = 0
  
  To niemiłe równanie sześcienne MA rozwiązanie.
  Najprościej jest je po ODGADNĄĆ próbując kolejno n = 1,2,3,...[ ale patrz też niżej na (###)]
  Już dla n = 2 równanie jest spełnione, czyli szukane liczby to
  (przypominam - są to liczby 2n-1, 2n+1, 2n+3 dla n = 2)
  
  3; 5; 7
  
  Sprawdzamy:
  Iloczyn: 3 * 5 * 7 = 105. Różnica kwadratów: 7^2 - 3^2 = 49 -9 = 40.
  Faktycznie - iloczyn jest o 65 większy od różnicy kwadratów :)
  =================================
  
  (###)
  Podaję tu sposób rozumowania - ja poszedłem na łatwiznę i użyłem (darmowego) programu "Maxima" do symbolicznego rozwiązywania równań :) Polecam !
  
  Komenda zadana "Maximie" :
  factor(4*n^3 + 6*n^2 - 9*n - 38); dała mi wynik: (n-2)*(4*n^2+14*n+19)
  
  Stąd byłem taki mądry, że n = 2 :)
  
  Można też spróbować rozwiązać to równanie "formalnie".
  Ponieważ w szkole średniej nie są podawane metody rozwiązywania równań stopnia trzeciego to spróbujmy zapisać nasze równanie w postaci:
  
  4n^3 + 6n^2 - 9n - 38 = (n - coś_a )(coś_b * n^2 + coś_c * n + coś_d) = 0 ;
  
  Ponieważ 38 = 2 * 19 więc "coś_a" może być albo równe 2, albo 19.
  Próbujemy najpierw mniejszej liczby, aby było łatwiej.
  Jeśli "coś_a" = 2 to "coś_d" = 19; poza tym "coś_b" = 4 [ wiesz, dlaczego ?? ]
  Mamy więc taką równość:
  
  4n^3 + 6n^2 - 9n - 38= (n - 2)(4n^2 + Cn + 19) ; zapisałem "coś_c} jako C
  
  Wymnażamy nawiasy po prawej stronie i dostajemy:
  
  4n^3 + 6n^2 - 9n - 38 = 4n^3 + (C - 8) n^2 + (19 - 2C) n - 38
  
  Porównujemy współczynniki przy jednakowych potęgach "n", stąd mamy:
  C - 8 = 6
  19 - 2C = -9
  stąd wynika, że C = 14 ; czyli:
  
  4n^3 + 6n^2 - 9n - 38= (n - 2)(4n^2 + 14n + 19) = 0
  
  Jednym z rozwiązań jest wspomniane na początku n = 2 , a równanie:
  4n^2 + 14n + 19 = 0
  nie ma rzeczywistego rozwiązania, więc n = 2 jest JEDYNĄ odpowiedzią
  i liczby 3, 5, 7 to JEDYNE liczby pasujące do zadania.
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie