Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 17.11.2015 (08:14)

  Zadanie 5.
  Patrz rysunki w załączniku.
  Sądzę, że nie potrzeba więcej wyjaśnień, wierzę w Twoją inteligencję :)
  ====================================
  
  Zadanie 6.
  Trójkąt APD jest prostokątny, ponieważ jest wpisany w okrąg i jego podstawą jest średnica tego okręgu. Wobec tego kąt APD = 90 stopni.
  
  Trójkąty APD i BPC także są prostokątne.
  Zauważ, że kąt APD = 180 - 90 - kąt CPB = 90 - kąt CPB więc jest równy kątowi PBC.
  Wobec tego trójkąty APD i BPC są podobne bo mają jednakowe kąty.
  
  Trójkąt APB też jest do nich podobny, bo kąt PAB = 90 - kąt DAP = kąt DPA.
  Także odpowiadające sobie kąty w trójkątach APB i APD są jednakowe.
  ====================================
  
  Zadanie 7.
  Zauważ, że kąt BCA = 60 więc kąt SCD = 30
  (ponieważ prosta CS jest dwusieczną kąta BCA, musi nią być, gdyż przechodzi przez środek okręgu wpisanego w trójkąt, a ten środek leży na przecięciu dwusiecznych trójkąta).
  
  Zauważ, że kąt SDC jest prosty
  (ponieważ odcinek SD jest poprowadzony do punktu styczności okręgu z bokiem AC, więc AC jest styczny do okręgu, a promień okręgu poprowadzony do stycznej jest do niej prostopadły).
  
  Wobec tego trójkąty ABC i CSDmają kąty 30, 60 i 90 stopni więc są podobne.
  
  Skala podobieństwa:
  Znajdźmy długość promienia okręgu wpisanego r = |SD|
  Wtedy skala podobieństwa k = r / |AC|.
  
  Oznaczmy długości boków trójkąta ABC następująco (dorysuj to sobie)
  a = |BC| ; b = |AC|; c = |AB|. Będzie mniej pisania.
  
  Pole trójkąta ABC można zapisać na dwa sposoby:
  P = (1/2) (a + b + c) * r lub
  P = (1/2) b * c ; stąd:
  
  r = b c / (a + b + c) i skala podobieństwa k = r / b = c / (a + b + c).
  
  Znamy kąt ABC = 30 stopni, więc:
  b = a * sin(30) = (1/2) a
  c = a * cos(30) = (1/2) a * pierwiastek(3)
  
  Wstawiamy to do wzoru na k
  
  k = [ (1/2) a * pierwiastek(3) ] / [ a + (1/2) a + (1/2) a * pierwiastek(3) ]
  stąd po kilku uproszczeniach mamy:
  
  k = pierwiastek(3) / [ 3 + pierwiastek(3) ]
  
  jak się pozbędziemy niewymierności z mianownika to:
  k = (1.2) * [ pierwiastek(3) - 1 ]
  ====================================
  
  Zadanie 8.
  Trójkąty ADC i AEB są prostokątne i mają wspólny kąt EAD,
  więc mają jednakowe kąty czyli trójkąt AEB jest podobny do ADC.
  
  Trójkąt EFC jest prostokątny i ma wspólny kąt ECF z trójkątem ACD
  więc z powodów jak wyżej trójkąt EFC jest podobny do ADC.
  
  Trójkąt DFB jest prostokątny i i kąty EFC i DFB są równe
  więc trójkąt DFB jest podobny do EFC więc także do ADC.
  ====================================

  Załączniki

  • rysunki.pdf (98 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie