Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 12.11.2015 (17:43)

  Zadanie 1.
  
  Jakakolwiek byłaby wartość n-silnia pod kosinusem to i tak wartość kosinusa
  zawiera się w przedziale < -1; 1 >.
  
  Wobec tego wyrażenie "minus (n^2 + n) / (2n^3 + 2)"
  jest zawsze mniejsze lub równe środkowemu wyrażeniu bo kosinus nie przekracza minus 1.
  
  Tak samo wyrażenie po prawej stronie jest większe lub równe środkowemu,
  bo kosinus nie przekracza 1.
  
  Aby przekonać się, że granicami wyrażeń po lewej i prawej stronie jest zero
  dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę mianownika, czyli przez n^3.
  
  \lim_{n \to\infty}\frac{n^2 + n}{2n^3+2}= \lim_{n \to\infty}\frac{n^2/n^3 + n/n^3}{2n^3/n^3+2/n^3}=\lim_{n \to\infty}\frac{1/n + 1/n^2}{2+2/n^3}
  
  Jak widać gdy n --> oo to licznik dąży do zera, a mianownik dąży do 2.
  Mamy więc granicę równą 0 / 2 czyli zero.
  
  Skoro środkowy ciąg jest ograniczony z obu stron przez ciągi dążące do zera
  to on też dąży do zera [ na podstawie tw. o 3 ciągach ].
  =====================
  
  Zadanie 2.
  Jest takie twierdzenie [ pewnie było na zajęciach ] że
  
  \lim_{n \to\infty}\sqrt[n]{an + b} = 1
  
  dla dowolnych skończonych, rzeczywistych "a" i "b".
  
  Nie wiem, dlaczego wpisano tam - 3 i + 3, przecież sin(n) spełnia nierówność:
  
  - 1 <= sin(n) <= 1. Wystarczy napisać tak:
  
  \sqrt[n]{3n - 1} \leqslant \sqrt[n]{3n + \sin n} \leqslant \sqrt[n]{3n + 1}
  
  aby ograniczyć z obu stron środkowy wyraz.
  A ponieważ skrajne wyrazy dążą do "1" to i środkowy dąży do 1
  [ na podstawie tw. o 3 ciągach ].
  =========================================
  
  W rozwiązaniu podanym w załączniku:
  Pierwiastek_stopnia_n z 3 --> 1, a druga część dąży do 1 na podstawie
  twierdzenia napisanego powyżej.
  Ponieważ ciągi:
  pierwiastek_stopnia_n z 3
  pierwiastek_stopnia_n z "n + 1"
  mają granice skończone to granica iloczynu jest równa iloczynowi granic,
  dlatego całość dąży do 1 * 1 = 1.
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    pytajacy231 12.11.2015 (20:16)

    ok,dzięki teraz już rozumiem skąd to wszystko jest :)