Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 11.11.2015 (02:16)

  OK, użyjmy po prostu zapisu w LaTeX'u, z nadmiarem nawiasów, aby mieć pewność :)
  Trzeba zbadać zbieżność szeregu:
  
  \sum_{n=1}^{\infty}\mbox{tg}^2\left(\frac{1}{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\mbox{tg}\left(\frac{1}{n} \right ) \right ]^2
  
  Zastosujemy kryterium porównawcze zbieżności.
  Najpierw pokażemy, że dla małych x --> 0 zachodzi:
  
  tg(x) < 2 sin(x)
  
  Faktycznie,
  ponieważ tg(x) = sin(x) / cos(x) ; a funkcja kosinus dąży do 1 gdy x --> 0
  to wyjdźmy od równości:
  
  sin(x) = sin(x)
  
  Weźmy x na tyle mały, aby cos (x) > 1/2.
  Podzielmy lewą stronę powyższej równości przez cos(x), a prawą przez 1/2
  Zachodzi teraz nierówność (gdyż po lewej stronie dzielimy przez coś większego od 1/2)
  
  sin(x) / cos(x) < sin(x) / (1/2) ; czyli tg(x) < 2 * sin(x), co było do pokazania.
  
  Następny krok: Wiadomo, że sin(x) < x [ dla małych, dodatnich x ], więc:
  
  tg(x) < 2x ; zastępujemy małe x przez 1 / n gdy n --> oo. Mamy następującą nierówność:
  
  0 < \mbox{tg}\left(\frac{1}{n}\right) < \frac{2}{n}
  czyli
  0 < \left[\mbox{tg}\left(\frac{1}{n}\right) \right ]^2<\frac{4}{n^2}
  
  Szereg z zadania jest więc ograniczony z dołu przez zero, a z góry przez szereg
  
  \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^2} = 4\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}
  
  który to szereg jest zbieżny (dowód był pewnie na wykładzie, w każdym razie można przyjąć to za pewnik). Ponieważ wszystkie wyrazy szeregu z zadania jako kwadraty są dodatnie to szereg z zadania jest rosnący i posiada oba ograniczenia, górne i dolne [ wystarczyłoby górne ]
  
  więc na podstawie kryterium porównawczego szereg ten jest zbieżny
  
  ( można policzyć programem, że suma tego szeregu wynosi około 3,1328 )
  ===============================
  
  Prościej byłoby zastosować tzw. "kryterium ilorazowe", ale nie wiem,
  czy mieliście na zajęciach - chyba nie.
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie