Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 7.11.2015 (07:38)

  1.
  a) - 1; 2; 3
  b) - 2; 2; - 8/3
  =========================
  
  2.
  a) a100 = 7 - 2 * 100 / 5 - - 33
  
  b)
  7 - 2n / 5 = 13/5 ; zamieniamy 2 i 3/5 na 13/5 ; mnożymy przez 5
  35 - 2n = 13 ; stąd
  n = 11
  
  c)
  Dodatnie są początkowe wyrazy. Sprawdzamy, dla jakiego "x" zachodzi:
  7 - 2x / 5 = 0 ; stąd
  35 - 2x = 0
  x = 17,5.
  Numer wyrazu ciągu ma być liczbą naturalną, MNIEJSZĄ od "x" czyli odpowiedź:
  - dodatnie jest pierwsze 17 wyrazów ciągu.
  =========================
  
  3.
  Pierwszy wyraz ciągu a1 = 1 - 30 + 300 = 271 spełnia warunek zadania.
  Piszemy równość [ czytaj x^2 jako "do kwadratu" ]
  
  x^2 - 30x + 300 = 100 ; stąd:
  x^2 - 30x + 200 = 0.
  
  Rozwiązaniami tego równania kwadratowego są x1 = 10 oraz x2 = 20.
  Gdyby narysować wykres funkcji x^2 - 30x + 200 to miałby on kształt litery U.
  Wobec tego skoro wyrazy a10 i a20 są dokładnie równe 100
  to mniejsze od 100 są wyrazy: a11; a12; ... a19. Stąd odpowiedź:
  jest 9 wyrazów mniejszych od 100.
  =========================
  
  4.
  Obliczamy różnicę kolejnych wyrazów ciągu, czyli a(n+1) - a(n)
  [ ten zapis w nawiasie to ma być indeks n+1 lub n ]
  
  a(n+1) - a(n) = [ 4 * (n+1)^2 - 3 ] - [ 4 * n^2 - 3 ] =
  = 4n^2 + 8n + 4 - 3 - 4n^2 + 3 =
  = 8n + 4
  
  Wyrażenie 8n + 4 jest dodatnie dla n > 0 więc ciąg jest rosnący
  =========================
  
  5. nie robię, jak było napisane
  =========================
  
  6.
  Różnica r ciągu to a(n+1) - a(n) czyli r = a(n) + 0,5 - a(n) = 0,5
  Pierwszy wyraz znamy.
  Wzór ogólny: an = 0,4 + 0,5 * (n - 1)
  =========================
  
  7. nie robię, jak było napisane
  =========================
  
  8.
  a)
  r = a3 - a2 = 5 - 7 = -2
  a1 = a2 - r = 7 - (-2) = 9
  a26 = a1 + 25 * r = 9 + 25 * (-2) = - 41
  
  b)
  a10 = a5 + 5 * r ; stąd:
  r = (a10 - a5) / 5 = (-12 - 3) / 5 = - 3
  a1 = a5 - 4 * r = 3 - 4 *(-3) = 15
  =========================
  
  9.
  Przekształcamy wzór na sumę sn pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego.
  sn = n * (a1 + an) / 2
  podstawiając an= a1 + r * (n - 1)
  sn = n * [ a1 + a1 + r * (n - 1) ] / 2
  sn = 2 * a1 * n / 2 + n^2 * r / 2 - n * r / 2
  
  sn = n^2 * (r/2) + n * (a1 - r/2)
  
  Jak widzimy gdy p = r/2 orazq = (a1 - r/2)
  wzór podany w zadaniu jest identyczny ze wzorem na sumę ciągu arytmetycznego.
  
  Teraz UWAGA!
  To co na górze NIE jest jeszcze dowodem !
  Należy obliczenia przeprowadzić "od końca", tzn.:
  - najpierw do wzoru sn = pn^2 + qn podstawiamy p i q jak wyżej
  - potem doprowadzamy sumę do postaci sn = n * (a1 + an) / 2
  zakładając postać an = a1 + r * (n-1)
  - i dopiero wtedy możemy twierdzić, że ciąg (an) jest arytmetyczny,
  bo n-ty wyraz ciągu ma postać an = a1 + r * (n-1).
  =========================
  
  10.
  różnica ciągu r = 8 - 11 = -3
  pierwszy wyraz a1 = 11
  dziesiąty wyraz a10 = a1 + 9 * r = 11 + 9 * (-3) = - 16
  suma s10 = 10 * [ 11 + (-16) ] / 2 = - 25
  =========================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    antekL1 7.11.2015 (08:18)

    W zadaniu (9) podkreślam:
    
    Doprowadzenie "od końca" do postaci sumy sn = n (a1 + an) / 2
    dopiero wtedy dowodzi, że ciąg jest arytmetyczny jeśli przedtem napiszemy,
    że an = a1 + r (n - 1) i przy takim założeniu możemy sumę napisać
    jak na początku.
    
    Bo samo wyrażenie sn = n (a1 + an) / 2 może być równie dobrze
    sumą wyrazów takiego ciągu:
    
    0; 0; 0;..... ,2n
    
    [ czyli a1 = a2 = ... = a(n-1) = 0 oraz an = 2n ]
    a to zdecydowanie NIE jest ciąg arytmetyczny :)