Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 29.10.2015 (13:59)

  Szereg jest rozbieżny tzn. suma z zadania = +oo.
  
  Sprawdzamy kryterium d'Alamberta,
  [ czyli stosunek wyrazu a(n+1) do a(n) gdzie ciąg a(n) = 3^n * n! / n^n ]
  
  \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{3^{n+1}\cdot (n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{3^n\cdot n!}{n^n}}=3\cdot (n+1)\cdot\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}=3\cdot\left(\frac{n}{n+1} \right )^n
  
  [ skróciłem 3^(n+1) / 3^n = 3 oraz (n+1)! / n! = n+1,
  a następnie (n+1) też się skróciło dając (n+1)^n ]
  
  Gdy n dąży do nieskończoności to wyraz [ n / (n+1) ] dąży do "1/e" ponieważ:
  
  \lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n}{n+1} \right )^n=\frac{1}{\lim\limits_{n\to +\infty}\left(1+\frac{1}{n} \right )^n}=\frac{1}{e}
  
  Tak więc stosunek wyrazów a(n+1) / a(n) ciągu pod sumą dąży do 3 / e.
  Ponieważ e = około 2,7; co jest mniejsze od 3 to dla dużych "n"
  
  a(n+1) / a(n) > 1
  
  więc z kryterium d'Alamberta szereg jest rozbieżny, czyli jego suma = +oo
  (bo wszystkie wyrazy są dodatnie).

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie