Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 29.10.2015 (16:28)

  Jeśli nie wolno uzyć rozwinięcia w szereg - patrz poniżej linii =============
  
  Jeśli wolno użyć następującego rozwinięcia w szereg funkcji log(1+x) dla małych "x"
  
  \log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{4^2}{4} + ...
  
  to przekształcamy n-ty wyraz ciągu jak niżej
  
  a_n = n\cdot\left[]\log(n+3)-\log(n) \right]= n\cdot \log\frac{n+3}{n}=n\cdot\log\left(1+\frac{3}{n} \right )
  
  Dla dużych "n" wyrażenie 3/n jest małe. Rozwijamy je w szereg podany na początku,
  podstawiamy x = 3 / n
  
  a_n = n\cdot\left(\frac{3}{n}-\frac{1}{2}\frac{3^2}{n^2} +\frac{1}{3}\frac{3^3}{n^3} - ...\right )= 3 - \frac{9}{2n}+\frac{27}{3n^2}-...
  
  Dla dużych "n" wszystkie wyrażenia poza "3" na początku dążą do zera
  i szukana granica jest równa 3.
  
  [ Trzeba by pokazać jeszcze, że nieskończona suma zawierająca 1/n^2 -... itd
  zbiega do zera, więc ta metoda jest szybka ale trochę ryzykowna :) ]
  ===========================
  
  Jeżeli NIE wolno stosować rozwinięcia w szereg to można inaczej.
  Aby się pozbyć logarytmów policzmy granicę e^(a_n)
  gdzie "e" - podstawa logarytmów naturalnych.
  Stosujemy prawa potęgowania i mamy:
  
  e^{a_n} = e^{n\,[\log(n+3)-\log(n)]}= \left[e^{\log(n+3)-\log(n)} \right ]^n=\left(\frac{n+3}{n} \right )^n
  
  [ ponieważ e ^ (log x) = x ; oraz e^(-log y) = 1/y ]
  
  Po prawej stronie wzoru powyżej mamy "klasyczny" przykład:
  
  \lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n+3}{n} \right )^n= \lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{3}{n} \right )^n= e^3
  
  (tą ostatnią granicę już przerabialiśmy wielokrotnie :)
  
  A więc skoro granicą wyrażenia e^(a_n) jest e^3 to granicą ciągu a_n jest 3
  ===========================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie