Treść zadania
Autor: pytajacy231 Dodano: 27.10.2015 (18:50)
1) \Lim_{n\to+ \infty }(\frac{n^2+1}{n^2})^(n po 2)
To najpierw liczę n po 2 czyli:
\frac{n!}{2!(n-2)!}
zatem:
n!=(n-2)!(n-1)n
(n-2)!=(n-2)!(n-1)n
czyli wstawiam do wzoru:
\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{(n-2)!(n-1)n}{2(n-2)!}= \frac{(n-1)n}{2}
\Lim_{n\to+ \infty }(\frac{n^2+1}{n^2})^(n po 2)= \Lim_{n\to+ \infty } [\frac{n^2(1+1/n^2)}{n^2}]^\frac{(n-1)n}{2}=\Lim_{n\to+ \infty }[(1+\frac{1}{n^2})^n2]^\frac{(n-1)n}{2}
i tutaj nie rozumiem bo cały nawias dąży do e czyli n^2 przy n do nieskończoności dąży do nieskończoności.Dodatkowo nie wiem skąd wzięła się ta potęga tego nawiasu (1+\frac{1}{n^2})^n2
Liczy się wtedy granicę potęgi tylko dlaczego w mianowniku jest 2n^2 a nie sama 2 \frac{(n-1)n}{2}= \Lim_{n\to+ \infty }\frac{n-1}{2n}= \Lim_{n\to+ \infty }\frac{n(1-1/n)}{2n}= \frac{1}{2}
zatem:
\Lim_{n\to+ \infty }(\frac{n^2+1}{n^2})^(n po 2)= \Lim_{n\to+ \infty } [\frac{n^2(1+1/n^2)}{n^2}]^\frac{(n-1)n}{2}=\Lim_{n\to+ \infty }[(1+\frac{1}{n^2})^n2]^\frac{(n-1)n}{2}= e^\frac{1}{2}[/quote]
Zadanie jest zamknięte. Autor zadania wybrał już najlepsze rozwiązanie lub straciło ono ważność.
Rozwiązania
Podobne zadania
cene towaru podniesiono najpierw o 20% a nastepnie zmniejszono o 24 zł. jaka
Przedmiot: Matematyka
/ Liceum
|
2 rozwiązania | autor: misia156 15.4.2010 (15:45) |
Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny.Suma tych licz równa się 18,a suma
Przedmiot: Matematyka
/ Liceum
|
1 rozwiązanie | autor: butczan 27.9.2010 (19:45) |
|
Kuchenka mikrofalowa kosztowała począdkowo 1420zł.Najpierw jej cenę
Przedmiot: Matematyka
/ Liceum
|
2 rozwiązania | autor: Aga001 2.10.2010 (11:28) |
|
Cenę penego towaru obniżono najpierw o 20% a nastepnie podwyższono o 20%.Czy
Przedmiot: Matematyka
/ Liceum
|
2 rozwiązania | autor: Aga001 2.10.2010 (11:30) |
|
Cenę pewnego towaru obniżono najpierw o 22%, a następnie podniesiono o 20%.
Przedmiot: Matematyka
/ Liceum
|
2 rozwiązania | autor: siolka 4.10.2010 (21:16) |
Podobne materiały
Przydatność 75% Należy wymagać najpierw od siebie a później od innych - przemowa
Moi drodzy, w moim przekonaniu należy wymagać najpierw od siebie a później od innych. Zdarza się że wymagamy od innych szacunku, dobra, ambicji , a sami ich nie doceniamy, czy tolerujemy. Czy tak powinno być ? Dlaczego wymagamy od innych a sami nic nie dajemy ?! Życie nie polega na braniu lecz na dawaniu z siebie wszystkiego co najlepsze. Jedną z cech człowieka jest...
0 odpowiada - 0 ogląda - 1 rozwiązań
0 0
antekL1 27.10.2015 (21:18)
Mamy do rozwiązania:
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\left[\left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)^{n \choose 2}\right]= \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2} \right )^{\frac{n(n-1)}{2}} \right ]
- jak to sam obliczyłeś poprawnie w treści zadania.
Zajmijmy się wyrażeniem w nawiasie kwadratowym.
Z praw potęgowania wynika, że jest ono równe:
\left(1+\frac{1}{n^2} \right )^{\frac{n(n-1)}{2}}=\sqrt{\left(1+\frac{1}{n^2} \right )^{n^2-n}}=\sqrt{\left(1+\frac{1}{n^2} \right )^{n^2}}\cdot\sqrt{\left(1+\frac{1}{n^2} \right )^{-n}}
Obliczmy teraz osobno dwie granice:
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{n^2} \right )^{n^2}= \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{k} \right )^{k} = e
(gdyż jak podstawimy k = n^2 to i tak liczymy granicę w plus nieskończoności ) oraz:
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{n^2} \right )^{-n} = \,\, ???
Do obliczenia ostatniej z granic użyjemy rozwinięcia logarytmu naturalnego w szereg.
Dla małych "x" zachodzi wzór:
\ln(1+x)\,\approx\,1 + x - \frac{x^2}{2} + ...
Podstawiamy x = 1 / n^2 i bierzemy logarytm wyrażenia pod granicą.
Używamy twierdzenia:
"Jeżeli granica lim [ log (f(n)) ] jest skończona to:
lim [ log (f(n)) ] = log [ lim f(n) ] "
(wymaga to jeszcze ciągłości funkcji f(n), [ tutaj - spełnione ] i jest jednym z twierdzeń,
które pozwolą funkcję z granicy zamienić na granicę z funkcji).
Rozpatrujemy więc granicę logarytmu, a logarytm rozwijamy w szereg:
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\ln\left(1+\frac{1}{n^2} \right )^{-n}= \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\left[(-n)\cdot \ln\left(1+\frac{1}{n^2} \right )\right ] =
i dalej, używając ROZWINIĘCIA LOGARYTMU w szereg dla małych "x"
= \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\left[(-n)\cdot \left(\frac{1}{n^2} -\frac{1}{2n^4} + ...\right )\right ] = \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\left(\frac{-1}{n} + \frac{1}{2n^3}-...\right ) = 0
Wobec tego granica naszego logarytmu jest ZEREM,
bo dla dużych "n" wszystkie wyrazy szeregu dążą do zera
co najmniej tak szybko jak 1/n.
[ to też pewnie wymaga dowodu, ale nie chcę powtarzać tu wykładu ]
czyli granica funkcji pod logarytmem to JEDEN. Mamy więc:
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{n^2} \right )^{-n} = 1
Jeśli to było na zajęciach to przepraszam za przydługi dowód.
Granice obu składników na które rozbiliśmy początkowe wyrażenie są skończone,
funkcje są ciągłe, możemy więc użyć twierdzenia,
że "granica z pierwiastka = pierwiastek z granicy". Dlatego początkowa granica to:
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\left[\left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)^{n \choose 2}\right]= \sqrt{e}\cdot\sqrt{1}=\sqrt{e}
W razie pytań - pisz na priv,
bo nie wiem, jakich metod z wyżej wymienionych używacie :)
Zauważ, że ta "sztuczka" z logarytmem NATYCHMIAST daje granice
typu (1 + 1/n) ^ n etc.
Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie