Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 16.10.2015 (07:53)

  Ten wzór na końcu to wniosek z II zasady dynamiki Newtona:
  wypadkowa siła = masa * przyspieszenie.
  ma = mg - R ; gdzie przyspieszenie a = dv/dt.
  
  Oznaczmy dla uproszczenia wszystkie stałe jako: A^2 = k^2 * P / m
  oraz q^2 = g
  Mamy równanie różniczkowe:
  
  \frac{dv}{dt}=q^2-A^2v^2
  
  czyli:
  
  \frac{dv}{q^2-A^2v^2}= dt
  
  Całkujemy obie strony. Po prawej mamy "t".
  
  Po lewej - mianownik to iloczyn (q - Av)(q + Av) ; [ po to pisałem kwadraty powyżej ]
  więc cały ułamek to funkcja wymierna, którą rozkładamy na sumę ułamków:
  
  \frac{1}{q^2-A^2v^2}= \frac{1}{2q}\cdot\left(\frac{1}{q-Av}+\frac{1}{q+Av} \right )
  
  Po scałkowaniu dostajemy dwa logarytmy po lewej (L = ... ) stronie:
  
  L =\frac{1}{2Aq}\cdot\left[-\log(q-Av) + \log(q+Av)\right ]=\frac{1}{2Aq}\cdot\log\left(\frac{q+Av}{q-Av}\right) + C'
  
  
  gdzie C' to jakaś stała, zaraz będzie mnożona przez "exp",
  więc nie bardzo nas obchodzi czy jest ona po prawej, czy po lewej stronie,
  ważne, że "exp" jest mnożone przez jakąś (inną niż C' ) stałą.
  
  Mnożymy obie strony przez 2Aq; bierzemy "exp" z obu stron i mamy do "rozwikłania" coś takiego:
  
  \frac{q+Av}{q-Av}= Ce^{2Aqt}
  
  z czego wychodzi:
  
  v(t)=\frac{q}{A}\cdot \frac{Ce^{2Aqt}-1}{Ce^{2Aqt}+1}
  
  Ponieważ początkowa prędkość v(0) = 0 to musi być C = 1 we wzorze powyżej
  (gdyż e^0 = 1; tylko wtedy gdy C = 1 licznik się wyzeruje).
  
  Jak z tego dojść do wyniku podanego w zadaniu - nie wiem,
  poza tym nie bardzo rozumiem Twój zapis końcowego rozwiązania.
  Najpierw jednak policzmy wymagane rzeczy.
  
  Prędkość graniczna:
  dla t --> oo zaniedbujemy "1" w liczniku i mianowniku, exp(...) się skraca i mamy:
  
  v_{\infty}=\frac{q}{A}=\sqrt{\frac{q^2}{A^2}}=\sqrt{\frac{g}{k^2P/m}}=\frac{1}{k}\sqrt{\frac{mg}{P}}=\frac{1}{k}
  
  ponieważ mg = P (ciężar ciała).
  Wymiarem wyniku są m/s ponieważ ze wzoru: R = k^2Pv^2
  wynika, że aby R było w niutonach to k ma mieć wymiar s/m.
  
  Mamy q/A = 1/k. Zamieńmy jeszcze iloczyn Aq na wielkości z zadania:
  
  Aq=\sqrt{gk^2P/m}=k\sqrt{gP/(P/g)}=gk
  
  Podstawiłem m = P/g; wymiar wielkości "g * k" to (m/s^2) * (s/m) = 1/s.
  I dobrze, bo 1/s mnożone przez czas daje bezwymiarowy wykładnik funkcji exp(...).
  Całe wyrażenie na v(t) ma więc postać:
  
  v(t)=\frac{1}{k}\cdot\frac{e^{2gkt}-1}{e^{2gkt}+1}
  
  Co tam jeszcze było? A, równanie ruchu. Trzeba scałkować v(t) po czasie.
  Wychodzi droga s(t) [ warunek początkowy: s(0) = 0 ]
  
  [ Wystarczy podstawić e^(2gkt) = u i trochę policzyć.
  Mamy: du = 2gk * e^(2gkt) dt ; czyli dt = du * 1 / (2gk * u) ;
  całka przechodzi na całkę z 2gk * (u-1) / [u * (u + 1)] po "du"
  a to już prosta całka wymierna.
  Ja użyłem programu Maxima do symbolicznego liczenia :) ]
  
  s(t)=\frac{1}{k}\cdot\left[\frac{\log\left(e^{2gkt}+1 \right )}{gk} -t\right ]
  
  
  Widać, że wymiarem s(t) są metry, bo "gk" ma wymiar (m/s^2) * (s/m) = 1/s,
  cały ułamek ma więc wymiar czasu, cały nawias kwadratowy też,
  więc całość ma wymiar [1/(s/m)] * s = metr.
  
  Dla odpowiednio długich czasów można zaniedbać jedynkę pod logarytmem
  i całość dąży do: (1/k) * [ 2gkt / (gk) - t ] = t / k.
  czyli ruch jest jednostajny z graniczną prędkością 1/k, co się zgadza
  z poprzednimi obliczeniami.
  
  UFF! Jak się pomyliłem to pisz proszę na priv.
  Sprawdzałem wprawdzie obliczenia programem, ale i tam też mogłem się machnąć :)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie