Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 19.9.2015 (09:50)

  [ Oznaczenie typu b(n+1) czytaj jako "b z indeksem n+1 na dole,
  czyli jako n+1 - szy wyraz ciągu.
  Oznaczenie ^2 to "do kwadratu" itp. ]
  
  Zadanie 7.
  (b_n) jest ciągiem geometrycznym.
  Dowód:
  Skoro (a_n) jest ciągiem geometrycznym to a(n+1) / a_n = q = stały iloraz ; więc:
  b(n+1) / b_n = [ 1/a(n_1) ] / [ 1/a_n ] = a_n / a(n_1) = 1 / q = stały iloraz.
  
  (c_n) jest ciągiem geometrycznym.
  Dowód:
  Jeśli iloraz q ciągu (a_n) jest dodatni to ciągi (c_n) i (a_n) są identyczne
  [ NIEZALEŻNIE od tego, czy wyraz a_1 jest ujemny, czy dodatni ]
  Jeżeli iloraz q ciągu (a_n) jest ujemny to ilorazem ciągu (c_n) jest | q |.
  
  (d_n) jest ciągiem geometrycznym.
  Dowód:
  Skoro (a_n) jest ciągiem geometrycznym to a(n+1) / a_n = q = stały iloraz ; więc:
  d(n+1) / d_n = [a(n+1)^2] / a_n^2 = [ a(n+1) / a_n ]^2 = q^2 = stały iloraz
  
  (e_n) jest ciągiem geometrycznym.
  Dowód:
  Wystarczy wziąć e_1 = 2a_1 i potem
  e(n+1) / e_n = a(n+1) / a_n = q = stały iloraz
  
  (f_n) NIE jest ciągiem geometrycznym. Kontrprzykład (wystarczy jeden) :
  Niech (a_n) = 1,2,4,8. Wtedy
  (f_n) = 3, 4, 6, 10. Widać, że iloraz f(n+1) / f(n) się zmienia.
  ===========================
  
  Zadanie 8.
  a) Odpowiedź: Nie.
  Wyraz a_7 = a_5 * q^2.
  Ale q^2 jest zawsze dodatnie, a wyrazy a_5 i a_7 mają rózne znaki. Sprzeczność.
  
  b)
  Patrz punkt (a). a(n+2) = a_n * q^2
  
  c) Odpowiedź: Nie.
  a_28 = a_12 * q^14. Dalej dowód jak w punkcie (a)
  ===========================
  
  Zadanie 9.
  a)
  Taki ciąg musi mieć iloraz q = 0, więc wszystkie wyrazy poza pierwszym są zerowe.
  q_127 = 0
  
  b)
  Wyraz b_25 = b_17 * q^8.
  Skoro b_25 = b_17 to q^8 = 1.
  Natomiast b_100 = b_4 * q^96
  Ale q_96 = (q^8)^12 = 1^12 = 1.
  Czyli b_100 = b_4 = 3
  ===========================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie