Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 13.9.2015 (21:24)

  Zadanie 8.
  Ciąg rosnący: a_n = 1 + n. Kolejne wyrazy to: 2; 3; 4; 5; ...
  Ciąg malejący: a_n = 1 - n. Kolejne wyrazy to: 0; -1; -2; -3; ...
  
  Ciąg arytmetyczny jest rosnący jeżeli jego różnica jest dodatnia.
  Ciąg arytmetyczny jest malejacy jeżeli jego różnica jest ujemna.
  Jeżeli różnica jest zerem to ciag arytmetyczny jest "stały"
  (Np: a_n = 1; Kolejne wyrazy to: 1; 1; 1; 1; .... <---------- ciąg stały.)
  =======================
  
  Zadanie 9.
  Tylko c_n NIE jest arytmetyczny (różnica kolejnych wyrazów nie jest stała).
  "Arytmetyczność" pozostałych ciągów udowodnimy.
  
  a)
  Obliczamy różnicę: a(n+1) - a(n)
  a(n+1) - a(n) = [ -13 - 5(n+1) ] - [ -13 - 5n ] = -13 -5n - 5 + 13 + 5n = -5.
  Przy okazji: ciąg jest malejący, bo różnica jest ujemna.
  
  b)
  Skracamy licznik i mianownik przez "n" (można, bo n > 0). Dostajemy:
  b_n = 4 + n
  Obliczamy różnicę b(n+1) - b(n)
  b(n+1) - b(n) = [ 4 + n+1 ] - [ 4 + n ] = 4 + n + 1 - 4 - n = 1
  Przy okazji: ciąg jest rosnący, bo różnica jest dodatnia.
  
  c)
  c_1 = pierwiastek [ 3 + (1-1)*2 ] = pierwiastek(3) = około 1,73
  c_2 = pierwiastek [ 3 + (2-1)*2 ] = pierwiastek(5) = około 2.24
  c_3 = pierwiastek [ 3 + (3-1)*2 ] = pierwiastek(7) = około 2.65
  Widać, że różnice c_2 - c_1 oraz c_3 - c_2 nie są jednakowe,
  dlatego NIE jest to ciąg arytmetyczny.
  
  d)
  Zobacz, że licznik da się zapisać jako:
  6n^2 + 12n = 6n(n+2)
  i skrócić z mianownikiem (bo n > 0). Wychodzi: d_n = 6n,
  co w oczywisty sposób jest ciągiem arytmetycznym, rosnacym, różnica
  d(n+1) = d(n) = [ 6(n+1) ] - [ 6n ] = 6
  =========================
  
  Zadanie 10.
  Zapiszmy wyrazy ciągów (a_n) i (b_n) następująco
  (r_a, r_b są różnicami kolejnych wyrazów, a_1 i b_1 to pierwsze wyrazy ciągów)
  
  a_n = a_1 + r_a (n - 1) ; oraz
  b_n = b_1 + r_b (n - 1)
  ----------------------------------------------------------- sumujemy stronami
  a_n + b_n = (a_1 + b_1) + (r_a + r_b) (n - 1)
  
  Jak widzisz po lewej stronie mamy sumę a_n + b_n czyli c_n
  a po prawej stronie mamy sumę pierwszych wyrazów: c_1 = (a_1 + b_1)
  oraz sumę reszt: r_c = (r_a + r_b)
  więc:
  
  c_n = c_1 + r_c (n - 1)
  
  a to jest wzór na ciąg arytmetyczny (c_n), co kończy dowód.
  =========================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie