Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 13.9.2015 (23:12)

  [ Czytaj a(n+1) jako "a z indeksem n+1 na dole ]
  
  Zadanie 20.
  a)
  Tak.. Z nierówności wynika, że a(n+1) < a_n. Ciąg jest malejący
  
  b)
  Tak.. Z nierówności wynika, że a(n+1) > 2*a_n. Ciąg jest rosnący
  
  c)
  Tak. Zauważ, że a_n + 2 > a_n (dla liczb dodatnich) więc
  z nierówności a(n+1) > a_n + 2 wynika nierówność a(n+1) > a_n.
  Ciąg jest rosnący.
  
  d)
  Nie
  Przykłady:
  Ciąg podany wzorem: a_n = 2 + (-1)^n ma kolejne wyrazy:
  a_1 = 1; a_2 = 3; a_3 = 1; a_4 = 3; ....
  czyli nie jest ani rosnący, ani malejący, lecz nierówność z zadania jest spełniona.
  Ale z kolei ciąg określony jako: a_n = n ma wyrazy: 1; 2; 3; 4; .. i jest rosnący.
  Ciąg a_n = 1 / n ma wyrazy: 1; 1/2; 1/3; 1/4 jest malejący.
  Czyli może zachodzić dowolna sytuacja.
  ======================
  
  Zadanie 21.
  Jeżeli ciąg (a_n) jest rosnący to a(n+1) > a_n.
  Podstawiamy ten warunek do kolejnych wzorów ciągów:
  
  b(n+1) = a(n+1) + 5 ale jest to większe od a_n + 5 czyli od b_n.
  (na podstawie warunku,, że a(n+1) > a_n)
  Zatem b(n+1) > b_n. Ciąg jest rosnący.
  
  c(n+1) = -a(n+1).
  Jednak jeśli a(n+1) > a_n to -a(n+1) < -a_n czyli od c_n.
  c(n+1) < c_n. Ciąg jest malejący czyli nie jest rosnący.
  
  d(n+1) = | a(n+1) |.
  Jeśli a(n+1) > a_n to NIE znaczy, że | a(n+1) | > | a_n |.
  Kontrprzykład:
  a_n = -2; a(n+1) = 1. Mamy: a(n+1) > a_n, ale:
  d_n = | -2 | = 2 ; d(n+1) = | 1 | = 1 i zachodzi d(n+1) < d_n.
  Nie można na pewno stwierdzić, że ciąg(dn) jest rosnący.
  
  ciąg (r_n). Zapiszmy:
  r(n+1) = a(n+1) + a(n+2).
  Ponieważ a(n+1) > a_n oraz także z założenia a(n+2) > a(n+1) to:
  a(n+1) + a(n+2) > a_n + a(n+1) co jest równe r_n.
  Wobec tego r(n+1) > r_n. Ciąg jest rosnący.
  ======================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie