Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 20.4.2015 (23:20)

  Tego naprawdę jest zdecydowanie za dużo! Proszę, rozdziel zadania na części, np. po 2-3 zadania, więcej osób rozwiąże je równolegle. Masz poniżej zadania na granice ciągów.
  -----------------------------
  
  114. [ szkic ]
  Zauważ, że pod pierwiastkiem masz wyrażenia (1/3)^n i (1/4)^n
  które zbiegają do zera w porównaniu ze stałym składnikiem (1/2)^2 = 1/4.
  Wobec tego gdy n --> oo to całość zbiega do:
  
  pierwiastek_stopnia_n [ 1/4 + mało ] --> pierwiastek_stopnia_n [ 1/4 ] = 1
  -----------------------------
  
  122. [ będzie coś z liczbą "e"...]
  Wyrażenie w nawiasie zapisujemy jako:
  
  \frac{n^2+2n^4}{2n^4}=1 + \frac{1}{2n^2}
  
  Teraz podstawiamy: 2n^2 = k ; zapisujemy wykładnik n^2 całego nawiasu jako:
  n^2 = k / 2 ; dostajemy, że całe wyrażenie to:
  
  =\left(1 + \frac{1}{k} \right )^{k/2}=\left[\left(1 + \frac{1}{k} \right )^k \right ]^{1/2}
  
  Ponieważ wyrażenie w nawiasie [...] dąży do "e" gdy k --> oo
  to całość dąży do e^(1/2) = pierwiastek(e)
  -----------------------------
  
  123. [ będzie coś z liczbą "e"..., jak poprzednio]
  Zwróć uwagę, jak w zadaniu 122 radziliśmy sobie ze sprowadzaniem
  wyrażenia w nawiasie do postaci: (1 + 1/k)^k. Tutaj też tak trzeba zrobić.
  Zapisujemy wyrażenie w nawiasie jako:
  
  \frac{n-3}{n-2}=\frac{n-2-1}{n-2}=1 - \frac{1}{n-2}
  
  Teraz - uwaga na znaki - podstawiamy k = - (n - 2) = - n + 2 ; stąd
  n = -k + 2 ; czyli 2n = -2k + 4
  
  Całe wyrażenie przechodzi na:
  
  \left(\frac{n-3}{n-2} \right)^{2n}=\left(1+\frac{1}{k} \right )^{-2k+4}=\left[ \left(1+\frac{1}{k} \right )^k \right ]^{-2}\cdot\left(1+\frac{1}{k} \right )^4
  
  Nawias kwadratowy dąży - jak widzisz - do e^(-2), zwykły nawias dąży do 1,
  więc wynik to e^(-2) = 1 / e^2
  -----------------------------
  
  Przykład 128 robi się identycznie, (wyjdzie e^9) natomiast na przykład 124 UWAŻAJ!
  Można tam wyciągnąć "4" przed nawias i dostać:
  
  = 4^{n/2}\cdot\left(\frac{n-1}{n-3} \right )^{n/2}
  
  To jest INNA sytuacja, bo wprawdzie nawias (...) da w granicy jakąś
  wartość skończoną, ale czynnik 4^(n/2) spowoduje, że ten ciąg ---> oo
  -----------------------------
  
  Zauważ, że "pułapka" pojawia się w zadaniach typu " (1 + 1/k)^k "
  jeśli da się przed to wyrażenie [ przed nawias (...) ] wyciągnąć liczbę X^k.
  Jeśli X > 1 to mamy +oo; jeśli X < 1 dostajemy zero jako granicę.
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.
  
  
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie