Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 9.4.2015 (15:09)

  [ czytaj proszę znaczek ^ jako "do potęgi" ]
  
  8)
  Uwagi do wszystkich punktów tego zadania:
  Funkcja potęgowa y = a^x : Zakładamy, że "a" jest DODATNIE.
  -- jeżeli a < 1 to funkcja jest malejąca.
  -- jeżeli a = 1 to wykresem funkcji jest pozioma linia y = 1
  -- jeżeli a > 1 to funkcja jest rosnąca.
  Dla "a" różnych od 1 funkcja ma jedynie POZIOMĄ asymptotę y = 0,
  co - w zależności od "a" - ma miejsce dla ujemnych albo dodatnich "x".
  Teraz zobacz przykłady:
  ==================================
  
  a)
  Podstawa potęgi e = 2,718... jest większa od 1, więc jest to funkcja rosnąca.
  Samo "e^x" dąży do zera gdy x --> -oo.
  Jak dodamy "5" do e^x to przesuniemy wykres funkcji o 5 w górę czyli:
  
  asymptota pozioma to: y = 5
  
  Przecięcie z osią pionową: Podstawiamy x = 0.
  Ponieważ a^0 = 1 dla dowolnego "a" to: f(0) = 5 + e^0 = 5 + 1 = 6
  Przecięcie z osią poziomą: BRAK.
  (skoro asymptota to y=6 i funkcja jest rosnąca to NIE MOŻE przeciąć osi OX)
  ==================================
  
  b)
  Podstawa a = 4 jest dodatnia więc funkcja jest rosnąca.
  Nic nie dodajemy, czyli asymptota pozioma (dla x--> -oo) to y = 0
  Przecięcie z osią pionową: Podstawiamy x = 0.
  f(0) = 4^(0 - 2) = 4^(-2) czyli y = 1/16
  Przecięcia z osią poziomą BRAK, argument jak w punkcie (a)
  ==================================
  
  c)
  Podstawa a = 0,1 < 1, jest to więc funkcja malejąca.
  Asymptota pozioma: y = 7
  Przecięcie z osią OY:
  f(0) = (0,1)^(0+3) + 7 = 0,1^3 + 7 = 0,001 + 7 czyli y = 7,001
  Przecięcie z osią OX - jak poprzednio, BRAK
  ==================================
  
  d)
  Asymptota pozioma y = - 1, pewnie wiesz, dlaczego :)
  Przecięcie z osią OY:
  f(0) = (1/2)^0 - 1 = 1 - 1 = 0 czyli y = 0
  Przecięcie z osią OX:
  Tu UWAGA!! Zobacz, że podstawa a = 1/2 więc jest to funkcja MALEJĄCA.
  Dla x--> +oo funkcja dąży do -1, dla bardzo ujemnych "x" jest dodatnia,
  więc oś OX MUSI przeciąć! Kiedy? Ano wtedy, gdy:
  
  (1/2)^x - 1 = 0; czyli:
  (1/2)^x = 1 ; ale stąd wynika, że x = 0, bo zawsze a^0 = 1.
  Punktem przecięcia z obiema osiami jednocześnie jest więc (0; 0)
  ==================================
  
  e)
  Podstawa a = 3 > 0, funkcja rosnąca, asymptota y = - 3
  Przecięcie z osią )Y: f(0) = 3^0 - 3 = 1 - 3 = -2 czyli y = - 2
  Przecięcie z osią OX: Ma zachodzić:
  3^x - 3 = 0 ; czyli
  3^x = 3 ; czyli
  x = 1 ;
  bo dla każdego "a" mamy: a^1 = a czyli 3^1 = 3. BEZ użycia logarytmów.
  ==================================
  
  f)
  Brr - to będzie najgorsze.
  Asymptotę mamy: y = - 5
  Przecięcie z osią OY:
  f(0) = (1/5)^(0+2) - 5 = 1 / 25 - 5 = minus (4 i 24/25)
  Przecięcie z osią OX. Napiszmy:
  
  (1/5)^(x+2) - 5 = 0 ; stąd:
  (1/5)^(x+2) = 5
  Napiszmy to tak:
  (1/5)^(x+2) = (1/5)^(-1) ; aby mieć te same podstawy. Musi więc zachodzić:
  
  x + 2 = -1 ; stąd: x = - 3
  ==================================
  
  Jak widzisz czasem trzeba być ostrożnym (przykład f).
  Mam nadzieję, że się nie pomyliłem...
  W razie pytań pisz na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie