Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 18.2.2015 (13:21)

  4)
  Mamy granicę ilorazu dwóch wielomianów.
  Zarówno w liczniku jak i w mianowniku występuje wielomian stopnia 5
  (nie trzeba wymnażać całego wyrażenia).
  Dzielimy licznik i mianownik przez x w najwyższej potędze mianownika
  (czyli tutaj przez x^5). Dostajemy:
  
  =\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\left(1-\frac{1}{x} \right )\left(1-\frac{2}{x} \right )\left(1-\frac{3}{x} \right )\left(1-\frac{4}{x} \right )\left(1-\frac{5}{x} \right )}{\left(5-\frac{1}{x} \right )^5}=
  
  Wszystkie wyrażenia typu 1/x dążą do zera, w granicy zostaje tylko
  
  = (1*1*1*1*1 / 5^5 = 1 / 3125
  =======================================
  
  5)
  Tu mamy różnicę pierwiastków, wyrażenie typu oo - oo.
  Dzielimy i mnożymy przez SUMĘ tych pierwiastków. Do licznika stosujemy wzór:
  (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 ; pozbywając się pierwiastków. Dostajemy:
  
  =\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{(1+x+x^2)-(1-x-x^2)}{\sqrt{1+x+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}}=
  
  Upraszczamy 1 i x^2 w liczniku (zostaje 2x),
  a w mianowniku wyciągamy x przed pierwiastki.
  Następnie skracamy 'x'. Wyrażenia typu 1/x dążą do zera, stąd wynik
  
  =\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x}{x\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+1}+x\sqrt{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}+1}}=\frac{2}{2}=1
  
  =======================================
  
  6)
  To jeszcze inny typ granicy. Podstawiamy n = x^2 i korzystamy z twierdzenia,
  że granica przy k --> oo wyrażenia (1 + 1/k) ^ k = e [ podstawa log. naturalnych ].
  To, co wychodzi po podstawieniu n = x^2 to wyrażenie, w którym podstawiamy
  m = n - 2 ; wtedy n = m + 2. Dostajemy:
  
  =\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\left(\frac{n+1}{n-2} \right )^n=\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\left(\frac{m+3}{m} \right )^{m+2}=
  
  To jeszcze nie koniec zabawy po podzieleniu ułamka w nawiasie przez m
  mamy (1 + 3/m). A chcemy mieć (1 + 1/k) ^ k.
  Dlatego robimy kolejne podstawienie: m = 3k.
  
  =\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{3}{m} \right )^{m+2}=\lim\limits_{k\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{3}{3k} \right )^{3k+2}=
  
  i dalej (ponieważ (1 + 1/k)^2 --> 1 gdy k-->oo)
  
  \lim\limits_{k\rightarrow +\infty}\left[\left(1+\frac{1}{k} \right )^k \right ]^3\cdot \left(1+\frac{1}{k} \right )^2=e^3
  
  ========================================
  
  Proszę zamieść zadanie (7) oddzielnie, bo ten tekst staje się za długi...
  
  
  
  
  
  =======================================
  =======================================
  =======================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie