Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 17.2.2015 (16:04)

  Ze wzoru elipsy wynika, że jej środek (przecięcie osi głównych) leży w punkcie (0,0).
  Po podstawieniu współrzędnych punktu P(-2; 5) do wzoru elipsy dostajemy:
  (-2)^2 / 16 + 5^2 / 12 = 7/3 co jest > 1 więc punkt P leży na zewnątrz elipsy,
  więc szukane styczne istnieją.
  
  Metoda jest taka:
  Bierzemy dowolną prostą w postaci y = ax + b przechodzącą przez punkt P.
  Podstawiamy współrzędne punktu P do równania prostej:
  
  5 = a * (-2) + b ; stąd b = 5 + 2a.
  
  Proste przechodzące przez punkt P mają ogólne równanie:
  
  y = a x + 2a + 5. <--------------- pierwsze równanie (1)
  
  Współczynnikiem nachylenia 'a' NIE możemy rządzić dowolnie.
  Aby dana prosta o nachyleniu 'a' w ogóle przecięła się z elipsą w punkcie A(x0, y0) to punkt A musi jednocześnie spełniać równanie prostej i równanie elipsy
  
  x^2 / 16 + y^2 / 12 = 1 <-------------- drugie równanie (2)
  
  Teraz istotne:
  Dla ustalonej wartości nachylenia "a' musi istnieć DOKŁADNIE JEDEN punkt przecięcia, wtedy prosta jest styczna. Czyli:
  
  Szukamy takich wartości 'a', że układ równań (1) i (2) ma tylko jedno rozwiązanie x0,y0.
  To oznacza, że równanie kwadratowe, które za chwilę otrzymamy
  musi mieć wyróżnik "delta" RÓWNY ZERO.
  
  Podstawiamy y z równania (1) do równania (2), w miejsce x,y piszemy x0, y0
  i po przekształceniach (typu: razy 12 * 16, podnieść nawias do kwadratu itp)
  dostajemy równanie kwadratowe na x0 [ sorry, zrobię to programem ]
  
  (4a^2 + 3) x0^2 + (16a^2 + 40a) x0 + 16a^2 + 80a + 52 = 0 <------ równanie (3)
  
  Właśnie to równanie ma mieć delta = 0. Wychodzi:
  
  delta = 576 a^2 - 960 a - 624 = 0 <---- wsp. 'a' ma spełniać to równanie
  
  Rozwiązaniami są: a1 = -1/2 ; a2 = 13/6
  co pozwala ze wzoru na b = 5 + 2a wyznaczyć b1 = 4 ; b2 = 28/3.
  
  Szukane proste to:
  
  albo: y = (- 1 / 2) x + 4 [punkt styczności: (2; 3) ]
  
  albo: (13 / 6) x + 28 / 3 [punkt styczności: (-26/7; 9/7) ]
  ====================
  
  W razie pytań pisz na priv.
  Aby nie było wątpliwości: istnieją DWIE proste (mające różne nachylenie 'a')
  dla których równanie (3) ma tylko jedno rozwiązanie.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie