Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 2.12.2014 (13:10)

  y''+5y'+4y=13sin3x
  
  Rozwiązanie szczególne równania ogólnego czyli y''+5y'+4y=13sin3x
  możemy przewidzieć jako kombinację sinusa i kosinusa 3x czyli w postaci:
  
  y_s(x) = A\sin 3x + B \cos 3x
  
  Liczymy pochodne:
  
  y_s'(x) = 3A\cos 3x - 3B \sin 3x
  y_s''(x) = -9A\sin 3x - 9B \cos 3x
  
  Po wstawieniu pochodnych do równania otrzymujemy
  
  (-35A-15B)\sin 3x + (15A - 21B)\cos 3x = 13\sin 3x
  
  Porównujemy współczynniki przy sin i cos, co daje układ równań:
  
  -5A-15B = 13
  15A - 5B = 0
  
  mający rozwiązanie A = -13/50 ; B = -39/50 czyli rozwiązanie szczególne to:
  
  y_s(x) = -\frac{13}{50}\,(\sin 3x + 3 \cos 3x)
  
  --------------
  Musimy znaleźć jeszcze
  rozwiązanie szczególne równania ogólnego: y''+5y'+4y = 0
  
  Wielomian charakterystyczny k^2 + 5k + 4 = 0 ma rozwiązania:
  k1 = -4; k2 = -1
  
  Rozwiązanie ogólne jest więc równe
  (C1 i C2 są stałymi ustalanymi z warunków początkowych)
  
  y_o(x) = C_1e^{-4x} + C_2e^{-x}
  
  i całe rozwiązanie będące sumą szczególnego i ogólnego:
  
  y(x) = C_1e^{-4x} + C_2e^{-x} - \frac{13}{50}\,(\sin 3x + \3\cos 3x)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie