Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 26.11.2014 (12:40)

  1) y=(x-1)(x^2/3)
  
  Zakładam, że te 2/3 jest w wykładniku bo inaczej to byłoby za łatwe,
  czyli mamy funkcję:
  
  y(x)=\frac{x-1}{x^{2/3}}
  
  Dziedzina to R - { 0 } ; w szczególności x < 0 należą do dziedziny.
  Liczymy pochodną i porównujemy ją do zera:
  
  y'(x)=\frac{1\cdot x^{2/3}-(x-1)\cdot(2/3)x^{-1/3}}{x^{4/3}}=\frac{x+2}{3x^{5/3}} = 0
  
  Mamy możliwe ekstremum dla x = -2
  Gdy x = -1 mianownik pochodnej jest ujemny, a licznik przy przechodzeniu przez x = -2 z lewej strony na prawą zmienia znak z minusa na plus, więc cała pochodna zmienia znak z plusa na minus. Mamy:
  maksimum w x = - 2
  =========================================
  
  2) y=(2/x)^x
  Dziedzina D = (0; +oo)
  Liczymy pochodną. Do takich funkcji gdzie 'x' jest w podstawie i wykładniku potęgi
  stosujemy sztuczkę:
  a = e^[ ln(a) ] <----- "e" jest podstawą log naturalnych. Dostajemy:
  
  y=\left(\frac{2}{x}\right)^x=e^{x\ln(2/x))}\qquad \mbox{zatem}\qquad y'(x)=[x\ln(2/x)]'\cdot \left(\frac{2}{x} \right )^x = 0
  
  Stosujemy wzór na pochodną funkcji złożonej e^z gdzie z = x * ln(2/x).
  e^z jest niezerowe czyli zerem musi być pochodna [x ln(2/x) ]. Liczymy:
  ln(2/x) to też funkcja złożona, podstawiamy t = 2/x i wychodzi:
  [ ln(2/x) ] ' = (-2/x^2) * 1 / t = -1 / x
  
  [x\ln(2/x)]' = x\cdot \frac{-1}{x}+1\cdot\ln(2/x)=\ln(2/x)-1=0
  
  Stąd ln(2/x) = 1 ; czyli 2 / x = e ; x = 2 / e
  
  Gdy x przechodzi przez 2/e z lewa na prawo to wartość pod logarytmem
  przechodzi z liczb > e na < e, czyli logarytm przechodzi od > 1 do < 1,
  czyli cała pochodna zmienia znak z plusa na minus.
  
  W punkcie x = 2 / e jest maksimum.
  =========================================
  
  3) y=x[(ln2x)^2]
  Dziedzina: x > 0
  Wewnątrz jest funkcja złożona - kwadrat logarytmu, podstawiamy z = ln(2x)
  i mamy z' = 2/x. Cała pochodna:
  
  y'(x)=1\cdot [\ln(2x)]^2 + 2x\,\ln(2x)\,\frac{2}{x}= [2 + \ln(2x)]\,\ln(2x)=0
  
  Albo ln(2x) = 0 ; co daje x1 = 1/2
  albo 2 + ln(2x) = 0 ; co daje 2x = e^(-2) ; czyli x2 = 1 / (2e^2)
  
  Gdy x przechodzi z lewej na prawą stronę przez x2
  to ln przechodzi z > 2 do < 2 czyli pochodna zmienia znak z plus na minus.
  Mamy maksimum w x = 1 / (2e^2)
  
  Gdy x przechodzi podobnie przez 1/2 to "2 + ln(2x)" trzyma się wartości 2,
  natomiast ln(2x) zmienia znak z minusa na plus czyli:
  Mamy minimum w x = 1 / 2
  =========================================
  
  4) y=x/lnx
  Dziedzina: D = (0; 1) U (1; +oo) [ trzeba wyłączyć x = 1 ]
  Pochodna:
  
  y'(x) = \frac{1\cdot \ln x - x\cdot\frac{1}{x}}{(\ln x)^2)}=\frac{\ln x-1}{(\ln x)^2} = 0
  
  Jak widać kandydatem jest x = e
  Gdy x przechodzi przez 'e' z lewej strony na prawą
  to ln(x) przechodzi z < 1 na > 1 czyli pochodna zmienia znak z minus na plus.
  Mamy minimum w x = e
  =========================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie