Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 23.11.2014 (00:29)

  Nie ma to jak skomplikować proste twierdzenie Gaussa, mówiące,
  że jeżeli D oznacza pewien zamknięty obszar, L - linię brzegową tego obszaru
  to pole P obszaru wynosi ( z dokładnością do znaku, dlatego użyłem "|...|" )
  
  P = \iint\limits_D dxdy=\oint\limits_L|xdy-ydx|
  
  Żartuję :)
  Zobacz w załączniku rysunek "trapezy.pdf".
  Elementarną operacją jest policzenie pola trapezu pod wektorem AB,
  gdzie punkty A, B mają współrzędne A(xj, yj) i B(xk, yk)
  [ różowy trapez po lewej stronie ]
  
  Podstawy trapezu (pionowe) mają długości yj i yk,
  wysokość (pozioma) to xk - xj
  [ kolejność jest ważna, jak przy obliczaniu współrzędnych wektora,
  od końca odejmujemy początek ]
  i pole takiego trapezu to:
  
  P_{AB} = \frac{1}{2}(y_j+y_k)(x_k-x_j)
  
  W wielokącie wystarczy konsekwentnie zsumować takie pola
  pod każdą z krawędzi tylko bardzo trzeba uważać na znaki i kolejność x-ów.
  Np. na rysunku w załączniku pole górnego trapezu po prawej stronie jest ujemne
  (zauważ, jak skierowany jest wektor), pod osią X znak pola się zmienia.
  Ale tego nie trzeba pamiętać, wyjdzie ze wzoru.
  
  Na koniec, gdy zsumujemy wszystkie trapezy i wyjdzie ujemne pole bierzemy je jednak ze znakiem PLUS bo końcowy wynik zależy od kierunku obiegu wielokąta, tak naprawdę powinno się go obiegać" przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
  ====================
  
  Zadanie_1_a.
  Współrzędne punktów: A(1,1); B(10,1); C(10,8); D(1,8).
  Wzór na górze nie daje wkładów od pionowych odcinków (bo różnica x-ów = 0)
  a od poziomych mamy:
  
  P_AB = (1/2) * (1 + 1) * (10 - 1) = + 9
  P_CD = (1/2) * (8 + 8) * (1 - 10) = - 72
  
  Suma: P = | P_AB + P_CD | = | 9 - 72 | = 643
  ====================
  
  Zadanie_1_b
  Współrzędne punktów: A(1,1); B(8,5); C(10,8); D(3,10).
  
  P_AB = (1/2) * (1 + 5) * (8 - 1) = + 21
  P_BC = (1/2) * (5 + 8) * (10 - 8) = + 13
  P_CD = (1/2) * (8 + 10) * (3 - 10) = - 63
  P_DA = (1/2) * (1 + 10) * (1 - 3) = - 11
  
  Suma: P = | +21 + 13 - 63 - 11 | = 40
  ====================
  
  Zadanie 2.
  Współrzędne punktów:
  A=(17,50; 287,40)
  B=(799,84; 894,20)
  C=(345,68; 900,17)
  D=(56,28; 715,42)
  E=(99,51; 154,88).
  
  Pole obliczyłem za pomocą programu "GeoGebra"
  (darmowy, BARDZO DOBRY program do robienia rysunków i obliczeń. POLECAM)
  
  Wynik jest z załączniku "zadanie2.pdf". Wychodzi pole = 275199,3
  
  Myślę, że geodeta zapisał punkty w złej kolejności. Patrz rysunek w załączniku.
  ====================

  Załączniki

  • trapezy.pdf (33 KB)

  • zadanie2.pdf (51 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie