Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 21.11.2014 (02:21)

  Zadanie 5.
  "Znaleźć kontrprzykład" to znaczy znaleźć choć jedną sytuację,
  gdy podane twierdzenie jest nieprawdziwe.
  Nie ma ogólnej metody - trzeba "główkować"
  
  a) i b)
  Liczba n1 = pierwiastek(8) jest niewymierna
  Liczba n2 = pierwiastek(2) jest niewymierna
  ale
  n1 * n2 = pierwiastek(8 * 2) = pierwiastek(16) = 4 jest nawet całkowita.
  n1 / n2 = pierwiastek(8 / 2) = pierwiastek(4) = 2 jest nawet całkowita.
  
  c)
  Wystarczy wziąć n2 = minus n1, np:
  Liczba n1 = pierwiastek(2) jest niewymierna
  Liczba n2 = minus pierwiastek(2) jest niewymierna
  ale
  n1 + n2 = pierwiastek(2) - pierwiastek(2) = 0 (liczba całkowita)
  
  albo:
  Liczba n1 = 2 - pierwiastek(2) jest niewymierna
  Liczba n2 = pierwiastek(2) jest niewymierna
  ale
  n1 + n2 = 2 - pierwiastek(2) + pierwiastek(2) = 2 (liczba całkowita)
  
  d)
  Liczba n1 = pierwiastek(2) jest niewymierna
  ale
  n1^2 = [ pierwiastek(2) ]^2 = 2 jest całkowita [ ^2 znaczy "do kwadratu" ]
  ============================
  
  Zadanie 6.
  Gdyby liczba "pierwiastek(n)" była wymierna to dałaby się zapisać jako:
  
  pierwiastek(n) = a / b gdzie liczby a, b są całkowite [ oraz b jest różne od zera ]
  Wtedy
  [ pierwiastek(n) ]^2 = n = a^2 / b^2 daje ułamek z liczb całkowitych.
  Ale taki ułamek to liczba wymierna, czyli "n" jest wymierne.
  Sprzeczność.
  ============================
  
  Zadanie 7.
  Po prostu rozwiążemy to równanie.
  Prawą stronę można zapisać jako 2/8 i mamy równość:
  
  pierwiastek(2x + 1) + 5 = 8 ; czyli
  pierwiastek(2x + 1) = 3 ; czyli po podniesieniu obu stron do kwadratu:
  2x + 1 = 9 ; stąd
  x = 4 - jest wymierne.
  ============================
  
  Zadanie 8.
  Opisuję swój sposób rozumowania.
  
  Na pewno liczba "b" musi być większa od 17,
  w przeciwnym razie "zmieściłaby się" raz jeszcze w reszcie z dzielenia.
  
  Na kalkulatorze sprawdzamy, że 97 / 17 = około 5,7
  Możliwymi wynikami dzielenia 97 przez b są więc tylko liczby 1,2,3,4,5.
  
  Sprawdzamy:
  Od razu mamy wynik dzielenia = 1 i dalej patrzymy na podzielniki liczby 80
  
  wynik = 1. Wtedy 97 = 1 * 80 + 17. Pasuje. Może być b = 80
  wynik = 2. Wtedy 97 = 2 * 40 + 17. Pasuje. Może być b = 40
  wynik = 3 - patrz dalej
  wynik = 4. Wtedy 97 = 4 * 20 + 17. Pasuje. Może być b = 20
  wynik = 5. Wtedy 97 = 5 * 16 + 17. STOP! Liczba b < 17, niemożliwe!
  Faktycznie: 97 = 6 * 16 + 1. b = 5 odpada.
  Dla większych od 5 wyników reszty już będą zawsze < 17.
  
  Zostaje sprawdzenie dla wyniku = 3.
  Na kalkulatorze liczymy 97 / 3 = około 32,3
  97 = 3 * 32 + 1. Za mała reszta, trzeba "dorobić" jeszcze 16 czyli około 3*5
  Zobaczmy 32 - 5 = 27
  97 = 3 * 27 + 16. Niedobrze. Trochę mniej niż 27. Sprawdzamy:
  97 = 3 * 26 + 19. Niedobrze.
  Dla wyniku = 3 nie da się dobrać liczby "b".
  
  Możliwe wartości "b" to: 1, 2, 4
  ============================
  
  Zadanie 10.
  a)
  Wystarczy do 2,22 dodać małą (mniejszą od 1/100) liczbę niewymierną,
  bo suma liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna,
  oraz iloczyn liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierny
  (dowód, jeśli nie było go na lekcji, jest dalej)
  Wiemy, że pierwiastek(2) = około 1,4 jest niewymierny, więc
  szukana liczba to np. 2,22 + pierwiastek(2) / 1000
  
  b)
  Na kalkulatorze sprawdzamy, że:
  pierwiastek(11) = około 3,316
  pierwiastek(12) = około 3,464
  Wybieramy liczbę pomiędzy tymi dwiema, np: 3,4
  ============================
  
  Dowody niewymierności.
  W - liczba wymierna różna od zera, N - liczba niewymierna.
  
  Gdyby suma S = W + N była wymierna to można ją zapisać jako S = a / b,
  gdzie a, b są liczbami całkowitymi. Ale wtedy:
  
  N = a / b - W co daje liczbę wymierną. Sprzeczność.
  
  Gdyby iloczyn J = W * N był wymierny to można go zapisać jako J = a / b,
  gdzie a, b są liczbami całkowitymi. Ale wtedy:
  
  N = (a / b) / W co daje liczbę wymierną. Sprzeczność.
  ============================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie