Treść zadania

Deloper

Witam mam takie zadanie na matematykę :
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych :
proszę o rozwiązanie w punktach każdego przykładu żebym zrozumiała

z góry dziękuję

Załączniki do zadania

Zadanie jest zamknięte. Autor zadania wybrał już najlepsze rozwiązanie lub straciło ono ważność.

Najlepsze rozwiązanie

Rozwiązania

  • antekL1

    Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum lokalnego f(x,y)
    w punkcie (x0,y0) jest zerowanie się obu pochodnych cząstkowych
    funkcji f po x i po y
    Następnie sprawdzamy znak wyznacznika utworzonego z drugich pochodnych.
    - Jeśli jest on dodatni to ekstremum istnieje
    - Jeśli jest on ujemny to ekstremum NIE istnieje
    Jeśli jest on zerowy to nie wiadomo, trzeba stosować inne metody.

    Poniżej, jeśli nie używam LaTeX'a, to pochodną cząstkową funkcji f po x
    zapisuję jako f '_x. Analogicznie pochodną po y zapisuję jako f '_y
    Drugie pochodne cząstkowe to f ' 'xx, f ' 'xy, f ' '_yy
    ======================

    (b)
    Extremum nie istnieje gdyż f ' _x = 1; nigdy nie będzie zerem.
    ======================

    (e)
    f '_x = 6y - 3x^2 = 0
    f '_y = 6x - 3y^2 = 0

    Jednym z rozwiązań jest punkt (0;0)

    Aby znaleźć inne rozwiązania piszemy powyższe równania w postaci jak niżej
    przy założeniu, że x, y są różne od zera
    [gdy x = 0 lub y = 0 to jako rozwiązanie dostajemy (0,0) ]

    2y = x^2
    2x = y^2
    ---------------- mnożymy stronami
    4xy = (xy)^2 ; stąd

    xy = 4 ; czyli
    y = 4 / x ; wstawiamy to do pierwszego z równań
    8 / x = x^2 ; czyli
    8 = x^3
    x = 2 i także y = 2
    Drugim punktem "podejrzanym" o ekstremum jest punkt (2,2).

    Liczymy drugie pochodne:
    f ' '_xx = -6x
    f ' '_yy = -6y

    wyznacznik z drugich pochodnych:

    W = \det\left [\begin{array} {cc} -6x & 6\\ 6 & -6y \end{array} \right ] = 36\,(xy-1)

    Wyznacznik W jest ujemny dla punktu (0,0)
    więc tam NIE MA ekstremum (jet punkt siodłowy)

    Wyznacznik W jest dodatni dla punktu (2,2). Mamy ekstremum.
    Sprawdzamy wtedy znak drugiej pochodnej po x.
    Jeśli jest ona ujemna - mamy maksimum, jeśli dodatnia - minimum.
    Tutaj f ' '_xx = - 6x = minus 12 dla x = 2 więc jest to maksimum.

    W załączniku pkt_e.jpg jest przestrzenny rysunek f(x,y)
    (tam widać maksimum i "siodło" tworzące się w punkcie (0,0)
    a w załączniku kontur_e.jpg jej "mapka" 2D
    =======================================

    Jeszcze punkt ( j ),
    pozostałe zamieść proszę oddzielnie, bo tego robi się za dużo.

    (j)
    To jest paraboloida, rysunki masz w załącznikach. Liczymy pierwsze pochodneL

    f ' _x = 6x - 4y - 3 = 0
    f ' _y = 6y - 4x -2 = 0

    Ten układ równań po rozwiązaniu daje jeden punkt: (13 / 10; 6 / 5).

    Liczymy drugie pochodne:

    f ' '_xx = 6
    f ' '_yy = 6
    f ' '_xy = -4

    Wyznacznik W = 6 * 6 - (-4)^2 = 12 > 0 niezależnie od x, y.

    więc dla każdego punktu podejrzanego o ekstremum będzie ono istniało
    i będzie to minimum, Nasz znaleziony punkt to minimum.
    =======================================

    Załączniki

Podobne zadania

Nieznany Mam takie zadanie obliczyc Pb ostr.prawidl.trójkąt. gdzie krawędz wynosi 8 Przedmiot: Matematyka / Studia 1 rozwiązanie autor: Konto usunięte 9.5.2010 (14:08)
syskaa17 1 . Wykres funkcji przekształć w symertii względem punktu (0,0) a nastepnie Przedmiot: Matematyka / Studia 2 rozwiązania autor: syskaa17 18.5.2010 (18:58)
dominika9027 Calka funkcji wymiernej Przedmiot: Matematyka / Studia 1 rozwiązanie autor: dominika9027 9.6.2010 (20:27)
Blondi9393 Zadanie z matematyki ! Podobieństwa figur ! Przedmiot: Matematyka / Studia 1 rozwiązanie autor: Blondi9393 18.9.2010 (18:11)
adulka wyznacz ekstrema funkcji f(x,y)=x2-2xy+2y3+4y2-3 Przedmiot: Matematyka / Studia 2 rozwiązania autor: adulka 7.10.2010 (12:09)

Podobne materiały

Przydatność 50% Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Przydatność 50% Diofantos - pierwszy matematyk...

Diofantos - z Aleksandrii, III wiek n.e. Był pierwszy matematyk, któy zajął się algebrą. Niewiele wiemy o jego życiu. Pewne szczegóły możemy poznać rozwiązując zadanie z Epifatium Diofanta zamieszczonego w antologii z XIV wieku mnicha Maksymusa Planudesa. Pod tym nagrobkiem spoczywa Diofant- a dzięki przedziwnej Sztuce zmarłego i wiek jego zdradzi ci ten głaz:...

Przydatność 50% Wzory na matematyke

Wzory Skróconego mnożenia (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 a2 - b2 = (a - b)(a + b) Pole i obwód koła Pole koła Po = π R2 Obwód okręgu (koła) L = 2 π R R - promień okręgu Pole trójkąta P∆ = ½ Podstawa ∙ wysokość Pole prostokąta P = a ∙ b Pole kwadratu P = a2 Pole trapezu Pole równoległoboku P =...

Przydatność 75% Jan Śniadecki- słynny matematyk

Jan Śniadecki 1756 ? 183 Najwybitniejszy astronom polski przełomu XVIII i XIX wieku. Wpierw kształcił się na Uniwersytecie Krakowskim, a później udał się do Paryża gdzie studiował matematykę pod kierunkiem Laplace'a i d'Alamberta. Tam zaproponowano mu nawet stanowisko astronoma-obserwatora w obserwatorium w Madrycie....

Przydatność 80% Podatki i opłaty lokalne

Ustawa z dnia 12 stycznia 1991r. o podatkach i opłatach lokalnych (Dz. U. Nr 9 , poz. 31 z późn. zm.) określa obowiązek podatkowy w podatku od nieruchomości , podatku od środków transportowych, podatku od posiadania psów oraz opłatach lokalnych: targowej, miejscowej i administracyjnej. Samorząd terytorialny i jego organy działają w ramach...

0 odpowiada - 0 ogląda - 2 rozwiązań

Dodaj zadanie

Zobacz więcej opcji