Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 31.10.2014 (00:17)

  Zadanie 17.
  Zauważ, że prosta y = -1 jest równoległa do osi X, a punkt styczności
  leży na osi Y. Ponieważ promień okręgu poprowadzony z punktu styczności ma być
  prostopadły do prostej stycznej więc środek okręgu leży na osi Y.
  Okrąg o środku w punkcie S = (0; y0) i promieniu "R" ma więc równanie:
  
  x^2 + (y-y_0)^2 = R^2
  
  Proszę zrób przybliżony rysunek takiego okręgu i zaznacz na nim punkty B, C tak,
  aby trójkąt ABC był równoboczny. Takki rysunek się przyda!
  
  Oś Y jest osią symetrii trójkąta ABC. Współrzędne y punktów B i C są jednakowe,
  a współrzędne x mają przeciwne znaki.
  
  Zauważ, że odcinek AS jest równy 2/3 wysokości trójkąta ABC
  (gdyż w trójkącie równobocznym wysokość jest jednocześnie środkową)
  Wobec tego wysokość trójkąta wynosi (3 / 2) R,
  czyli współrzędne y punktów B,C to
  [ zauważ gdzie leży punkt A; dlatego odejmujemy 1 ]
  
  y_B = y_C = \frac{3}{2}R-1
  
  Obliczymy współrzędne x tych punktów. Zauważ, ze wartość bezwzględna
  tych współrzędnych to połowa długości podstawy BC trójkąta.
  Z kolei wysokość trójkąta równobocznego h wiąże się z długością podstawy:
  
  h = \frac{3}{2}R = \frac{\sqrt{3}}{2}\,|BC|
  
  Stąd dostajemy długość | BC | / 2, czyli wartości bezwzględne xB oraz xC
  
  |x_B|=|x_C| = \frac{|BC|}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} R
  
  Mamy wszystkie współrzędne, ale trzeba wyznaczyć promień okręgu.
  Z konstrukcji wynika, że współrzędna y0 środka okręgu spełnia równanie:
  
  y0 = R - 1
  
  Podstawiamy współrzędne punktu L(-4;1) do napisanego na początku
  równania okręgu. Od razu podstawiamy y0.
  
  (-4)^2 + (1-R+1)^2 = R^2\qquad\mbox{zatem}\qquad r = 5
  
  (Kwadrat R skraca się, już tego nie rozpisuje, to łatwe)
  
  Wstawiamy R do wzorów na współrzędne punktów B i C.
  Załóżmy, że punkt B ma dodatnią współrzędną x, punkt C - ujemną. Dostajemy:
  
  B = \left(\frac{5}{2}\sqrt{3}; \,\,\frac{13}{2} \right )\qquad\qquad C = \left(-\frac{5}{2}\sqrt{3};\,\, \frac{13}{2} \right )
  
  =================================================
  
  Zadanie 18.
  Wyznaczmy najpierw rozwiązanie równania ax^2 - (2a+1)x + 2 = 0.
  Sprawdzamy "delta" - kiedy one w ogóle istnieją:
  
  \Delta = (2a+1)^2 - 8a = 4a^2-4a+1=(2a-1)^2
  
  Delta jest pełnym kwadratem więc pierwiastki zawsze istnieją.
  W znany Ci sposób otrzymujemy te pierwiastki:
  
  x_1=\frac{2a+1 -(2a-1)}{2a} = \frac{1}{a}\qquad\qquad x_2=\frac{2a+1 +(2a-1)}{2a} = 2
  
  Eleganckie pierwiastki :)
  Musimy wykluczyć a = 0. Zresztą wtedy i tak parabola przeszłaby w prostą x = 2.
  -------------------------
  
  Rozważamy dwa przypadki.
  
  1) a > 0.
  Parabola opisywana wzorem z zadania ma wtedy kształt litery U
  i nierówność jest spełniona dla x mniejszych od mniejszego z pierwiastków
  i x większych od większego z pierwiastków.
  
  Zauważ, że a = 1/2 jest krytyczną wartością.
  Wtedy 1/a = 2 i mamy podwójny pierwiastek, oczywiście warunek zadania
  jest spełniony, gdyż parabola leży nad osią X z wyjątkiem punktu x = 2.
  
  Weźmy teraz "a" z przedziału (0 ; 1/ 2).
  Wartość 1/a jest wtedy większa od 2 (czyli x = 2 jest mniejszym pierwiastkiem)
  i rozwiązaniami nierówności są między innymi liczby x < 2.
  Podany w zadaniu przedział jest więc zawarty w zbiorze rozwiązań.
  
  Mamy pierwszy przedział wartości "a" pasujący do zadania: (0; 1/2)
  
  Niech teraz będzie a > 1/2. Wtedy 1/a < 2 i liczba 2 jest większym pierwiastkiem.
  W miarę wzrostu "a" liczba 1/a "oddala się" na lewo od punktu x = 2
  i w pewnym momencie "dotknie" punktu x = 1, czyli prawej granicy podanego
  w zadaniu przedziału. Stanie się tak dla
  
  1/a = 1 czyli dla a = 1.
  
  Dokładna wartość a = 1 jest dozwolona, gdyż przedział (1/2; 1) jest otwarty.
  
  Mamy drugi przedział wartości "a" pasujący do zadania: (1/2; 1>
  
  Łączymy wyniki otrzymane dla dodatnich "a". Dodajemy oczywisty punkt a = 1/2
  i mamy:
  
  a \in (\,0; \,1>
  
  -----------------------------
  
  2) a < 0
  Parabola ma wtedy kształt odwróconej litery U i zbiór rozwiązań nierówności z zadania
  leży pomiędzy pierwiastkami.
  Ponieważ a < 0 to 1/a także jest mniejszy od zera czyli x = 2 jest większym pierwiastkiem,
  a mniejszy pierwiastek jest ujemny.
  Naturalnie przedział podany w zadaniu ZAWSZE należy do zbioru rozwiązań.
  Czyli w tym wypadku:
  
  a \in (\,-\infty; 0)
  
  -----------------------------
  
  Możemy już połączyć wszystkie otrzymane wyniki. Rozwiązaniem zadania jest:
  
  a \in (\,-\infty; 1> \backslash \,\,\{0\}
  
  =================================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie