Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 30.10.2014 (02:56)

  Zadanie 2.
  Zobacz proszę rysunek w załączniku.
  Jest tam równoramienny trapez z wpisanym okręgiem.
  Najpierw udowodnimy ważną dla tego zadania zależność dotyczącą
  ramienia trapezu.
  
  Punkt E jest punktem styczności ramienia trapezu i okręgu wpisanego.
  Punkty F i G są punktami styczności okręgu i podstaw trapezu.
  
  Weźmy trójkąty BSG i BSE.
  Są one prostokątne, mają wspólną przeciwprostokątną BS i równe boki SG i SE.
  Wobec tego boki GB i EB też są równe.
  Ale odcinek GB jest połową dłuższej podstawy (bo trapez jest równoramienny)
  Wobec tego
  
  | EB | = a / 2 ; gdzie przez "a" oznaczamy długość podstawy AB.
  
  Analogicznie dowodzimy, że
  
  | EC | = b / 2 ; gdzie przez "b" oznaczamy długość podstawy CD
  
  Ramiona trapezu mają więc długości:
  
  | BC | = | AD | = (a + b) / 2
  ==================
  
  Wysokość trapezu niech ma długość "h".
  Tej długości szukamy, bo jest to podwójny promień okręgu wpisanego.
  
  Z zadania wiemy, że pole trapezu wynosi 20 czyli:
  
  (a + b) * h / 2 = 20
  
  Z drugiej strony wiemy, że obwód trapezu także wynosi 20 czyli:
  
  a + b + 2 * (a + b) / 2 = 20 ; stąd:
  2(a + b) = 20 ; czyli
  a + b = 10.
  
  Wstawiamy a + b do równania na pole trapezu:
  
  10 * h / 2 = 20 ; stąd:
  h = 4
  
  czyli promień okręgu wpisanego r = h / 2 = 2 cm.
  
  Obwód okręgu L = 2pi * r = 4 pi. Koniec zadania.
  =======================
  
  Zadanie 1 zamieść proszę oddzielnie, bo ten tekst staje się za długi...

  Załączniki

  • trapez.pdf (14 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie