Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 4.10.2014 (19:52)

  Dane:
  Es = 2 * 10^5 V/m - natężenie pola w środku kwadratu
  εr = 120 - względna przenikalność dielektryczna ośrodka
  Szukamy:
  E3 - natężenie pola w trzecim wierzchołku
  D3 - indukcja pola w trzecim wierzchołku
  
  Zrób proszę rysunek: kwadrat, jego dwie przekątne (przecinają się w punkcie S)
  i dwa ładunki Q w sąsiadujących wierzchołkach A i B.
  Wierzchołek naprzeciwko A oznacz "C", wierzchołek naprzeciwko B oznacz "D".
  Bok kwadratu ma długość "r" (to się skróci, podobnie jak ładunki).
  
  Załóżmy, że ładunki Q są dodatnie. Wtedy w środku kwadratu (punkt S)
  mamy dwa wektory natężenia pola skierowane wzdłuż przekątnych kwadratu
  zwrócone od punktu S do C i od S do D.
  Zauważ, że gdy graficznie dodamy te wektory to też utworzy się kwadrat
  i jego przekątna ma długość:
  
  Es = E * pierwiastek(2)
  
  gdzie E jest wartością natężenia pola od jednego z ładunków.
  
  Odległość AS jest równa BS i równa r * pierwiastek(2) / 2
  Wobec tego:
  
  E_s = E\sqrt{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\,\frac{Q}{\left(r\sqrt{2}/2 \right )^2}\,\sqrt{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\,\frac{Q}{r^2}\cdot 2\sqrt{2} = n\cdot 2\sqrt{2}
  
  gdzie przez "n" oznaczyłem wszystko w wyjątkiem 2 * pierwiastek(2).
  To "n" się skróci.
  =====================
  
  Teraz liczymy wartość pola w wierzchołku C. ( Paskudne obliczenia ! )
  Od ładunku w punkcie B (będącego w odległości "r" od C) mamy wektor Eb,
  skierowany wzdłuż linii BC, od B do C.
  Od ładunku w punkcie A (w odległości r * pierwiastek(2)) mamy wektor Ea,
  skierowany wzdłuż linii AC, od A do C.
  Wypadkowa tych wektorów jest skierowana "na ukos", NIE wzdłuż przekątnej.
  Najpierw napiszmy wzory na wartości obu wektorów:
  
  E_a = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\,\frac{Q}{\left(r\sqrt{2} \right )^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\,\frac{Q}{2r^2}= n\cdot \frac{1}{2}
  
  oraz
  
  E_b = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\,\frac{Q}{r^2} = n
  
  Zrobimy teraz tak: rozłożymy wektor Ea na składowe w kierunku równoległym
  do Eb i w kierunku prostopadłym.
  Każda z tych składowych ma długość Ea * pierwiastek(2) / 2.
  Czyli w kierunku Eb mamy sumę Eb + Ea * pierwiastek(2) / 2,
  w kierunku prostopadłym tylko Ea * pierwiastek(2) / 2.
  Zastosujmy tw. Pitagorasa:
  
  E_3 = \sqrt{\left(E_b+E_a\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^2+\left(E_a\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^2}=
  
  =\sqrt{\left(n+\frac{n}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^2+\left(\frac{n}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^2}= n\cdot \frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{2}}
  
  Mam nadzieję, że się tu nie pomyliłem, ale sprawdź, proszę!
  =================
  
  Teraz jest już z górki:
  Wiemy, że Es = n * 2 * pierwiastek(2) ; stąd:
  n = Es / [ 2 * pierwiastek(2) ]
  wstawiamy "n" do ostatniego wzoru i mamy E3.
  
  E_3= \frac{E_s}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{2}}= \frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{2}+\sqrt{2}}\cdot E_s
  
  Postawiamy Es z zadania, na kalkulatorze wyliczamy podwójne pierwiastki
  i mamy:
  
  E3 = około 98900 V / m
  
  Indukcję D3 obliczamy mnożąc E3 przez epsilon_r
  
  D3 = 120 * E3 = około 1,19 * 10^7 C/m^2
  
  (wymiar [ D ] liczyłem Ci w innym zadaniu)
  ==========================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie