Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 20.9.2014 (08:06)

  Poza oznaczeniami z zadania przyjmijmy jeszcze:
  g = 10 m/s^2 - przyspieszenie ziemskie
  J = 1/3 ML^2 - moment bezwładności, nazywamy go J zamiast L
  aby uniknąć konfliktu oznaczeń.
  
  Korzystamy z zasady zachowania energii.
  Początkowo pręt ma jedynie energię potencjalną Ep. względem dolnego końca.
  Środek ciężkości pręta znajduje się na wysokości L / 2 więc:
  
  E_p = M g \frac{L}{2}
  
  Gdy pręt znajdzie się w pozycji poziomej cała energia potencjalna zmieni się
  w energię kinetyczną ruchu postępowego środka masy Ekk
  i ruchu obrotowego Eko
  
  E_{kk} + E_{ko} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}J\omega^2
  
  gdzie v - prędkość liniowa środka masy; omega - prędkość kątowa pręta.
  Te wielkości są związane zależnością:
  
  v = \omega\frac{L}{2}
  
  Porównujemy obie energie i podstawiamy moment bezwładności J
  oraz powyższy związek w miejsce v.
  
  Mg\frac{L}{2}=\frac{1}{2}M\,\left(\omega\frac{L}{2} \right )^2 + \frac{1}{2}\,\frac{1}{3}ML^2\omega^2
  
  Upraszczamy M, 1/2 oraz jedno L i mamy:
  
  g=\frac{7}{12}L\omega^2 \qquad\qquad\mbox{zatem}\qquad\qquad \omega = \sqrt{\frac{12g}{7L}}
  
  Wymiar wyniku:
  
  [ \omega ] = \sqrt{(m/s^2) / m} = 1/s
  
  Podstawiamy dane:
  
  \omega = \sqrt{\frac{12\cdot 10}{7\cdot 2}}\,\approx\,2{,}93\,\mbox{1/s}
  
  Prędkość vk końca pręta wynosi:
  
  v_k = \omega L = \sqrt{\frac{12}{7}gL} \,\approx\, 5{,}86\,\mbox{m/s}
  
  Prędkość v środka pręta masy jest połową prędkości vk
  
  v = \omega \frac{L}{2} = \sqrt{\frac{3}{7}gL} \,\approx\, 2{,}83\,\mbox{m/s}
  
  Porównaj ten wynik z sytuacją gdy środek masy spada swobodnie z wysokości L/2 (bez obrotu) Wtedy jego prędkość wyniosłaby:
  
  V = \sqrt{2gL/2}= \sqrt{gL}
  
  Jak widać obrót powoduje dodanie czynnika 3 / 7 pod pierwiastkiem.
  - część energii potencjalnej jest "pochłaniana" przez obrót pręta.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie