Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 19.9.2014 (14:36)

  W zadaniach 1,2,3 zastosujemy twierdzenie:
  
  "Jeżeli szereg o wyrazach |a_n| jest zbieżny
  to szereg o wyrazach a_n także jest zbieżny.
  
  We wszystkich zadaniach w miejsce | sin(...) | wstawiamy jedynkę.
  Ponieważ 0 <= | sin(...) | <= 1 to jeśli udowodnimy, że szeregi o wyrazach:
  
  b_n = \frac{1}{n^2-1}\qquad\mbox{oraz}\qquad c_n = \frac{1}{n^2}
  
  są zbieżne to szeregi z zadań 1,2,3 także są.
  
  Warunek konieczny zbieżności jest spełniony:
  
  \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\,\frac{1}{n^2-n} = \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\,\frac{1}{n^2} = 0
  
  Aby pokazać warunek wystarczający stosujemy kryterium całkowe.
  Dla n =2,3,4... (w zadaniu 1) lub n=1,2,3... (w zadaniu 2 i 3) całka od 2 (lub 1) do nieskończoności z wyrażeń b_n lub c_n jest skończona.
  Zauważ, że granica wyrażenia (n-1) / n w nieskończoności to 1 oraz ln(1) = 0
  więc:
  
  \int\limits_2^{+\infty}\,\frac{1}{n^2-n} = \left[\ln(n-1)-\ln(n)\right]_2^{+\infty} = \left[\ln\left(\frac{n-1}{n}\right)\right]_2^{+\infty} = \ln(2)
  
  \int\limits_1^{+\infty}\,\frac{1}{n^2} = \left[\frac{-1}{n}\right]_1^{+\infty} = 1
  
  Wobec tego szeregi (1), (2) i (3) są zbieżne
  
  W zadaniu (4) wykorzystujemy fakt, że dla n >= 1 zachodzi: 0 \leqslant \ln n \leqslant n
  Wobec tego w liczniku zamiast ln(n) można napisać "n", skrócić z n^3 z mianownika
  i mamy szereg o wyrazach 1/n^2, którego zbieżność pokazaliśmy poprzednio.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie