Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 15.5.2014 (08:52)

  Zadanie 1.
  Pole trójkąta można elegancko obliczyć ze wzoru Herona (poniżej),
  ale nie wiem, czy był on podawany na lekcjach (u mnie NIE był).
  Jeśli nie, to poradzimy sobie inaczej, ale wtedy liczymy najpierw punkt (d)
  potem pole (punkt a) i całą resztę.
  
  Oznaczmy boki trójkąta: a = 10; b = 17; c = 21.
  Tradycyjnie oznaczmy kąt naprzeciwko boku c przez "gamma"
  Przy okazji
  - to jest największy kąt w tym trójkącie (na logikę - najkrótsze boki a, b
  muszą się "rozpiąć" najbardziej, aby "utrzymać" długi bok "c" ).
  
  
  a)
  Wzór Herona [ jak on to zrobił, stary Grek, nie znając algebry??? Podziwiam! ]
  Jeżeli p = połowa obwodu trójkąta czyli p = (a+b+c) / 2
  czyli gdy p = (10 + 17 + 21) / 2 = 24
  to pole P [DUŻA litera P ] wynosi:
  
  P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=
  
  = \sqrt{24\cdot(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{7056} = 84\,
  
  
  b)
  Powołam się na kolejny wzór, którego mogło nie być na lekcji.
  Promień R okręgu opisanego na trójkącie wynosi:
  
  R = \frac{abc}{4P} = \frac{10\cdot 16\cdot 21}{4\cdot 84} = \frac{85}{8} = 10\frac{5}{8}
  
  c)
  Tu jest prosto, bo pole trójkąta można zapisać jako P = r p / 2
  gdzie p = połowa obwodu, jak w punkcie (a) więc: (MAŁE "r" to szukany promień)
  
  r = 2P / p = 2 * 84 / 24 = 7
  
  d)
  Korzystamy ze wzoru na pole: P = (1/2) ab sin(gamma)
  z tego wynika, że:
  
  P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma \qquad\qquad\mbox{zatem}\qquad\qquad \sin\gamma=\frac{2P}{ab} = \frac{2\cdot 84}{10\cdot 17}\,\approx\,0{{,}988
  
  =============================
  
  Alternatywne podejście:
  Ze wzoru na kosinus (uogólnione twierdzenie Pitagorasa)
  
  c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\,\cos\gamma
  
  wynika, że:
  
  \cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}= \frac{10^2+17^2-21^2}{2\cdot 10\cdot 17}\,\approx\,-0{,}152941
  
  Kosinus jest ujemny, przy okazji wiemy, że trójkąt jest rozwartokątny.
  Z "jedynki trygonometrycznej" liczymy sinus:
  
  \sin\gamma = \sqrt{1-\cos^2\gamma}= \sqrt{1-(0{,}152941)^2}\,\approx\,0{,}988
  
  Jak widać wychodzi to samo.
  Potem mając sinus liczymy pole w punkcie (a) korzystając ze wzoru w (d)
  i potem (b) i (c).
  ==========================
  
  Przepraszam, zgłoś ponownie zadanie 2, bo ten tekst już jest za długi,
  pisz na priv w razie pytań, mój pies chce, aby z nim wyjść, nie mam teraz czasu.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie