Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 22.4.2014 (20:40)

  a)
  Punkt krytyczny jest w x = 0, zobaczmy, co otrzymamy licząc całkę nieoznaczoną.
  Zamieniamy pierwiastek stopnia 3 w mianowniku na x^(-1/3) i mamy:
  
  \int x^{-1/3}\,dx = \frac{3}{2}x^{2/3} = \frac{3}{2}\,\sqrt[3]{x^2}
  
  I po zabawie bo całe wyrażenie powyżej jest równe 3/2 dla x = 1
  oraz zero dla x = 0.
  
  Nasza całka jest zbieżna i wynosi 3/2 - 0 = 3/2
  ===========================
  
  b)
  Widać, co się dzieje. Mamy zero w mianowniku w górnej granicy całki.
  Ta całka byłaby paskudna, gdyby nie x w liczniku.
  Podstawiamy: t = x^2 ; stąd dt = 2x dx i mamy, ozdabiając całkę liczbami "2"
  (najpierw całka niewłaściwa)
  
  \int\frac{1}{2}\,\frac{2x\,dx}{\sqrt{4-9x^4}}=\frac{1}{2}\,\int \frac{dt}{\sqrt{4-9t^2}}
  
  To nie koniec zabawy, bo trzeba całkę przekształcić do postaci:
  
  \int\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\,du
  
  Ja Ci to kiedyś liczyłem, wyjątkowo niemiłe obliczenia. Używam programu
  i cała ta całka nieoznaczona wynosi, po wróceniu do zmiennej x:
  
  \int = \frac{1}{12}\,\arcsin\left(\frac{3x^2}{2}\right)
  
  Przechodzimy do całki oznaczonej. Dla x = 0 spoko, bo to powyżej = 0.
  Dla górnej granicy otrzymujemy arcsin(1) czyli pi/2. Więc całka wynosi:
  
  całka z zadania = (1/12) * (pi/2 - 0) = pi / 24
  ===========================
  
  W razie ytań pisz na priv itd...

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie