Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 22.4.2014 (17:50)

  Pierwsza część zadania.
  
  Pole S3:
  Wysokości prostokątów obliczamy z podanego wzoru funkcji y = x+1
  
  Pierwszy prostokąt ma wysokość 1 (zauważ, że do wzoru podstawiamy
  współrzędną x Z LEWEJ STRONY, czyli x = 0, wtedy y = 1
  To się przyda w drugiej części zadania
  
  Drugi prostokąt ma wysokość (dla x = 4) y = 4 + 1 = 5
  Trzeci prostokąt ma wysokość (dla x = 8) y = 8 + 1 = 9
  
  Podstawy prostokątów mają po 4 więc pole S3 wynosi:
  S3 = 4 * (1 + 5 + 9) = 60 kratek
  
  
  Pole S4 liczymy analogicznie. Wysokości prostokątów to: 1, 4, 7, 10.
  Ich szerokości to 3
  S4= 3 * (1 + 4 + 7 + 10) = 66 kratek
  ==============================================
  
  Druga część zadania:
  Jak będziemy "zagęszczać" prostokąty to można się spodziewać,
  że wypełnią one całe pole trapezu (o pionowych podstawach równych 1 i 13)
  i poziomej wysokości równej 13, czyli pole:
  S = 12 * (1 + 13) / 2 = 84 kratki
  ==============================================
  
  Nie wiem, czy to, co niżej, należy do rozwiązania,
  ale dowiedziemy, że Sn dąży do 84.
  Podzielmy odcinek <0; 12> na "n" części. Długość każdej części to 12/n
  więc współrzędną "x" po LEWEJ stronie danej części można zapisać jako:
  
  x_k = k\,\frac{12}{n} \qquad\qquad\mbox{gdzie}\qquad\qquad k = 0, 1, 2, \dots n-1
  
  Zauważ, że zatrzymujemy się na k = n-1, NIE na k=n. Pomyśl, czemu!
  
  Współrzędna y dla każdego xk to yk = xk+1 czyli wysokości prostokątów to:
  
  y_k = k\,\frac{12}{n} + 1\qquad\qquad\mbox{gdzie}\qquad\qquad k = 0, 1, 2, \dots n-1
  
  a pole Pk każdego małego prostokąta to:
  
  P_k = \frac{12}{n}\cdot\left(\frac{12}{n}\,k + 1\right)= \frac{144}{n^2}k + \frac{12}{n}
  
  Suma pól prostokątów wynosi (zauważ, że w pierwszej części wyrażenia poniżej sumujemy "k" od 0 do n-1, w drugiej sumujemy tylko "n" liczb 12/n)
  
  S_n = \frac{144}{n^2}(0+1+2+\dots+n-1) + \frac{12}{n}\cdot n
  
  W nawiasie jest suma liczb naturalnych od 0 do n-1, czyli n(n-1)/2,
  a drugi składnik daje po prostu 12.
  
  S_n = \frac{144}{n^2}\cdot \frac{n(n-1)}{2} + 12= 72\cdot\frac{1-1/n}{1} + 12 \rightarrow 84
  
  Zrobiłem tak: [ czytaj ^2 jako "do kwadratu" ]
  n(n-1) / n^2 zapisałem jako: (1+1/n) / 1. Dla dużych n składnik 1/n jest zerem
  więc całość dąży do (znak "strzałka w prawo") 72 + 12 = 84.
  
  Mamy wynik!
  A wiesz, co policzyliśmy "z definicji" ??? Całkę!
  
  \int\limits_0^{12}\,(x+1)\,dx = \left|\frac{1}{2}x^2 + x\right|_0^{12} = 84
  
  W razie pytań pisz na priv.
  ==============================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie