Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 10.4.2014 (10:34)

  Zauważ, że jeżeli sprzężenie liczby "z" ma być równe z^2 lub z^3
  to moduł |z| = 1. Dowód (gwiazdka oznacza sprzężenie)
  
  Zapiszmy z w postaci z = r |* e^( j fi) ; wtedy z* = r * e^( -j fi)
  |z*| = r * | e^( -j fi) | = r
  |z^2| = r^2 * | e^( 2j fi) | = r^2 ; czyli r = r^2 więc r = 1 (bo r > 0)
  |z^3| = r^3 * | e^( 3j fi) | = r^3 ; czyli r = r^3 więc r = 1 (bo r > 0)
  
  Oczywiście jedną z liczb będących rozwiązaniem jest liczba z = 0.
  
  a)
  Ma zachodzić: e^{-j\varphi + 2jk\pi} = e^{2j\varphi}
  Czyli:
  -j\varphi + 2jk\pi = 2j\varphi
  
  stąd 3 * fi = 2k pi (gdzie k jest liczbą całkowitą) czyli fi = ((2/3)k) pi
  Mamy 3 rozwiązania:
  
  dla k = 1 jest fi = (2/3)pi czyli
  z1 = cos[(2/3) pi] + j * sin[(2/3) pi] = - 1 / 2 + j * pierwiastek(3) / 2
  
  dla k = 2 jest fi = (4/3)pi czyli
  z2 = cos[(4/3) pi] + j * sin[(4/3) pi] = - 1 / 2 - j * pierwiastek(3) / 2
  
  dla k = 3 jest fi = (6/3)pi, co odpowiada kątowi fi = 0 czyli
  z3 = cos(0) + j * sin(0) = 1
  
  
  b)
  Ma zachodzić: e^{-j\varphi + 2jk\pi} = e^{3j\varphi}
  Czyli:
  -j\varphi + 2jk\pi = 3j\varphi
  
  stąd 4 * fi = 2k pi (gdzie k jest liczbą całkowitą) czyli fi = ((1/2)k) pi
  Mamy 4 rozwiązania:
  
  dla k = 1 jest fi = (1/2)pi czyli
  z1 = cos[(1/2) pi] + j * sin[(1/2) pi] = j
  
  dla k = 2 jest fi = pi czyli
  z2 = cos[pi] + j * sin[pi] = - 1
  
  dla k = 3 jest fi = (3/2)pi czyli
  z3 = cos[(3/2) pi] + j * sin[(3/2) pi] = - j
  
  dla k = 4 jest fi = (4/2)pi, co odpowiada kątowi fi = 0 czyli
  z4 = cos(0) + j * sin(0) = 1

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie