Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 31.3.2014 (22:27)

  Oznaczmy długości równych boków podstawy przez "a"
  i kąt między nimi przez "alfa"
  Oznaczmy wysokość graniastosłupa przez "h".
  
  Mamy dwa przypadki
  
  1) Przystające ściany boczne to ściany oparte na bokach o długości "a".
  Wtedy:
  
  \frac{1}{2}a^2\sin\alpha = 2ah
  
  (po lewej stronie jest pole podstawy obliczone z użyciem kąta alfa i boku a,
  po prawej podwojone pole ściany bocznej).
  Dzielimy obie strony przez 2a i dostajemy:
  
  \frac{1}{4}a \sin\alpha = h
  
  Ponieważ sin(alfa) jest mniejszy lub równy 1 to z powyższego równania wynika,
  że h <= a / 4, co było do udowodnienia.
  
  2) Przystające ściany boczne są oparte na bokach o długości "a" i "b".
  Ta sytuacja jest dużo bardziej skomplikowana, ale trzeba ją rozważyć,
  ponieważ w zadaniu NIE jest powiedziane, które ściany boczne wybieramy.
  
  Obliczymy długość boku b. Wystarczy poprowadzić wysokość podstawy
  aby zobaczyć, że:
  
  b = 2a\sin\frac{\alpha}{2}
  
  Równość z zadania przyjmuje teraz postać (pole podstawy liczymy jak poprzednio)
  
  \frac{1}{2}a^2\sin\alpha = (a+b)h = \left(1+2\sin\frac{\alpha}{2}\right)\,ah
  
  stąd:
  
  h = \frac{1}{2}\,\frac{\sin\alpha}{1+2\sin\frac{\alpha}{2}}\,a
  
  Pokażemy, że ułamek z sinusami jest mniejszy lub równy 1 / 2.
  W tym celu odejmijmy 1/2 od tego ułamka i sprowadźmy całość do wspólnego mianownika:
  
  \frac{\sin\alpha}{1+2\sin\frac{\alpha}{2}} -\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\,\frac{2\sin\alpha - 1 - 2\sin\frac{\alpha}{2}}{1+2\sin\frac{\alpha}{2}}=
  
  Rozpisujemy sin(alfa) na funkcje kąta alfa/2
  
  =\frac{1}{2}\,\frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} - 1 - 2\sin\frac{\alpha}{2}}{1+2\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{2}\,\frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\,\left(\cos\frac{\alpha}{2}-1\right)-1}{1+2\sin\frac{\alpha}{2}}
  
  Licznik ostatniego z ułamków powyżej jest ujemny ponieważ alfa/2 <= 90,
  więc cos(alfa/2) <= 1, czyli cos(alfa/2) - 1 < 0,
  a dodatkowo jeszcze odejmujemy jedynkę.
  
  Pokazaliśmy, że ułamek z sinusami we wzorze na h jest <= 1/2.
  Wobec tego gdy zastąpimy ten ułamek przez 1/2 to dostaniemy:
  
  h \leqslant \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\,a = \frac{1}{4}\,a
  
  czyli ponownie twierdzenie z zadania jest spełnione.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie