Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 1

  antekL1 29.3.2014 (13:08)

  Zadanie 32.
  W ciągu arytmetycznym podwojony środkowy wyraz jest równy sumie sąsiadów,
  stąd pierwsze równanie:
  
  4 + y = 2x
  
  Po zwiększeniu x i y mamy liczby: (4, x+1, y+3)
  W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyraju jest równy iloczynowi sąsiadów,
  stąd drugie równanie:
  
  4(y+3) = (x+1)^2
  
  Z pierwszego równania wyznaczamy y = 2x - 4
  i wstawiamy do drugiego:
  
  4(2x - 4 + 3) = (x+1)^2 ; wymnażamy nawiasy i przenosimy wszystko na prawo
  
  0 = x^2 - 6x + 5 ; rozwiązujemy to równanie kwadratowe
  delta = 6^2 - 4*1*5 = 16 ; pierwiastek(delta) = 4
  
  x1 = (6 - 4) / 2 = 1 ; a wtedy y1 = 2*1 - 4 = -2
  x2 = (6 + 4) / 2 = 5 ; a wtedy y2 = 2*5 - 4 = 6
  
  Odpowiedziami są zestawy: (4, 1, -2) lub (4, 5, 6)
  Sprawdzenie:
  To, że oba ciągi są arytmetyczne, widać od razu. Po dodaniu 1 i 3 do x i y mamy:
  (4, 2, 1) - ciąg geometryczny o ilorazie 1/2 lub
  (4, 6, 9) - ciąg geometryczny o ilorazie 3/2.
  ===========================================
  
  Zadanie 33.
  Oznaczmy:
  Va - prędkość samochodu jadącego z A
  Vb - prędkość samochodu jadącego z B
  t - czas przebycia trasy przez samochód jadący z A
  
  40 minut to 2/3 godziny więc czas przebycia trasy przez samochód z B wynosi
  t + 2/3
  
  Piszemy dwa równania na drogę:
  448 = Va t
  448 = Vb (t + 2/3)
  
  i jedno na prędkości
  Vb = Va - 12
  
  Trzeba się pozbyć "t".
  Z pierwszego równania t = 448 / Va, wstawiamy to do drugiego i mamy
  układ 2 równań z dwiema niewiadomymi Va, Vb
  
  448 = Vb (448 / Va + 2/3)
  Va = Vb + 12
  
  Mnożymy pierwsze z tych równań przez Va
  448 Va = 448 Vb + (2/3) Va Vb
  
  i podstawiamy Vb z drugiego z równań:
  
  448 Va = 448 (Va - 12) + (2/3) Va (Va - 12)
  
  Wymnażamy nawiasy i przenosimy wszystko na prawą stronę:
  
  0 = (2/3) Va^2 - 8Va - 5376
  rozwiązujemy to równanie kwadratowe:
  delta = (-8)^2 - 4 * (2/3) * (- 5376) = 14400 ; pierwiastek(delta) = 120.
  
  Va1 = (8 - 120) / [2 * (2/3)] = -84 ; odrzucamy ujemne rozwiązanie
  Va2 = (8 + 120) / [2 * (2/3)] = 96 km/h
  
  wobec tego Vb = 96 - 12 = 84 km/h.
  
  Sprawdzamy:
  Czas pokonania trasy przez samochód z A wynosi 448 / 96 = 4h 40 min
  Czas pokonania trasy przez samochód z B wynosi 448 / 84 = 5h 20 min.
  Zgadza się, różnica czasów to 40 minut.
  ===========================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie