Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 27.3.2014 (14:30)

  a)
  Są różne metody na rozwiązanie tego zadania.
  Zróbmy tak: obliczymy odległość "d" podanej prostej od środka okręgu
  i zobaczymy, jak ma się to do promienia okręgu.
  
  Jeśli prosta podana jest w postaci: Ax + By + C = 0
  to odległość d punktu (x0, y0) od tej prostej wynosi:
  
  d = \sqrt{\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{A^2 + B^2}}
  
  Środek okręgu w rym zadaniu to (-1; 3),
  a prosta zapisana w postaci jak wyżej to: 3x - y - 1 = 0,
  czyli A = 3; B = -1; C = -1.
  
  d = \sqrt{\frac{|3\cdot (-1) + (-1)\cdot 3 + (-1)|}{3^2 + (-1)^2}} = \sqrt{\frac{7}{10}}\,\approx\, 0{,}84
  
  Promień okręgu to \sqrt{2}\,\approx\,1{,}4
  Więc wyraźnie widać, że odległość "d" jest mniejsza od promienia.
  prosta przecina okrąg w 2 punktach.
  Tak naprawdę trzeba by pokazać, że pierwiastek(7/10) < pierwiastek(2),
  ale jedna z tych liczb jest < 1, druga > 1, więc to oczywiste!
  =======================
  
  b)
  Zobaczymy, jak ma się odległość środków okręgów do ich promieni.
  Pierwszy okrąg zapiszemy tak, aby widać było promień i środek.
  
  x^2 + y^2 - 4x + 6y - 1 = (x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 - 1 =
  
  = (x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 14
  
  Środek pierwszego okręgu to (2; -3), a promień to pierwiastek(14).
  
  Środek drugiego okręgu to (-2; 3), a promień to 1.
  
  Liczymy odległość d środków okręgów z tw. Pitagorasa:
  
  d = \sqrt{(-2 -2)^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{52} \,\approx\,7{,}2
  
  Suma promieni okręgów, pierwiastek(14) + 1, jest mniejsza od odległości
  czyli okręgi nie przecinają się i leżą na zewnątrz siebie.
  
  Tutaj trzeba by jeszcze pokazać, że:
  
  \sqrt{14} + 1 < \sqrt{52}
  
  Zastąpmy pierwiastek(14) czymś większym, np. pierwiastek(16) = 4
  Zastąpmy pierwiastek(52) czymś mniejszym, np. pierwiastek(49) = 7.
  Ponieważ 4 + 1 < 7
  to powyższa nierówność (z pierwiastkami) jest prawdziwa,
  bo gdy wstawimy mniejsze liczby po lewej i większe po prawej
  to tym bardziej nierówność jest spełniona.
  UWAŻAJ! na ten dowód! Wychodzimy od: 4 + 1 < 7 (co jest prawdą)
  potem zastępujemy 4 i 7 przez pierwiastki.
  NIE na odwrót, jest to częsty błąd!
  =======================
  
  W razie pytań pisz na priv.
  Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    antekL1 28.3.2014 (11:35)

    Przepraszam, w pierwszym zadaniu we wzorze na odległość punktu od prostej pierwiastek powinien być tylko z mianownika, dlatego mój wynik jest zły, powinno wyjść d = około 2,21 i prosta NIE przecina okręgu.
    Patrz rozwiązanie werner2010.
• 

  1 0

  werner2010 27.3.2014 (20:10)

  rozwiązanie w pliku

  Załączniki

  • okregi_i_prosta.pdf (252 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie