Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 24.3.2014 (14:09)

  Zrób rysunek.
  Trójkąt prostokątny ABC (BC jest podstawą, A jest przy kącie prostym).
  Dorysuj dwusieczną AD jak w zadaniu i środek O okręgu wpisanego,
  dzielącego dwusieczną.
  Dorysuj dwie prostopadłe do boków trójkąta z punktu O.
  Prostopadła do boku BC przecina go w punkcie E
  Prostopadła do boku BA przecina go w punkcie G.
  Narysuj jeszcze odcinek BO, to dwusieczna kąta ABC.
  Oznacz kąt ABC w skrócie przez beta
  Oznacz długość promienia okręgu wpisanego przez r.
  Oczywiście |GO| = |EO| = r,
  oraz promienie okręgu wpisanego są prostopadłe do boków trójkąta.
  
  Zauważ, że kąt BAD = 45 stopni (bo AD to dwusieczna)
  więc kąt BDA = 180 - 45 - beta = 135 - beta.
  Będziemy starać się znaleźć sinus tego kąta czyli stosunek |EO| / |DO|.
  Wtedy znamy ten kąt i znamy od razu beta.
  
  Trójkąt GAO ma dwa kąty po 45 stopni (bo kąt OGA jest prosty) wobec tego
  
  |AO| = r * pierwiastek(2)
  
  Z podanego w zadaniu stosunku |AO| do |DO| wynika, że
  
  |DO| = r * pierwiastek(2) * pierwiastek(2) / pierwiastek(3)
  |DO| = 2r / pierwiastek(3)
  
  Wobec tego szukany sinus wynosi:
  
  sin(kąta BDA) = r / [ 2r / pierwiastek(3) ] = pierwiastek(3) / 2.
  
  Taki sinus odpowiada kątowi 60 stopni.
  Poprzednio znaleźliśmy związek: kąt BDA = 135 - beta, więc
  beta = 135 - 60 = 75 stopni
  trzeci kąt trójkąta ABC to 90 - 75 = 15 stopni.
  
  Odpowiedź: Miary kątów ostrych tójkąta ABC wynoszą 75 stopni i 15 stopni.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie