Treść zadania

Najlepsze rozwiÄ…zanie

• 

  1 0

  antekL1 22.3.2014 (20:41)

  Zanim podstawimy, jak we wskazówce, n = 2k+1, ułatwimy sobie życie
  przekształcając podane wyrażenie tak ("L" oznacza "liczba")
  
  L = n^3-n = (n^2-1)n = (n+1)(n-1)n
  
  Teraz podstawimy
  
  L = (2k+1+1)(2k+1-1)(2k+1) = (2k+2)(2k)(2k+1) =
  
  = 4k(k+1)(2k+1)
  
  Liczba L dzieli się przez 24 jeśli dzieli się przez 4 i przez 6.
  Wyrażenie po prawej stronie to 4 razy "coś" więc przez 4 się dzieli.
  Trzeba pokazać:
  
  Czy k(k+1)(2k+1) dzieli siÄ™ przez 6, czyli czy dzieli siÄ™ przez 2 i przez 3 ?
  
  Przez 2 siÄ™ dzieli, bo w iloczynie jest k(k+1).
  Któraś z tych liczb, albo k, albo k+1 musi być parzysta więc iloczyn jest parzysty.
  
  Zobaczmy podzielność przez 3. Mamy tylko takie trzy sytuacje
  (liczba "j" jest całkowita)
  
  -- liczba k jest podzielna przez 3, czyli można ją zapisać jako k = 3j
  Wtedy całe wyrażenie dzieli się przez 3, co kończy dowód
  
  -- liczba k ma postać: 3j+2. Wtedy k+1 = 3j+2+1 = 3(j+1).
  Wtedy też całe wyrażenie dzieli się przez 3, co kończy dowód
  
  -- pozostaje postać k = 3j+1. Ale wtedy:
  2k+1 = 2(3j+1) + 1) = 6j + 2 + 1 = 3(2j+1), też dzieli się przez 3.
  
  W każdej z tych sytuacji wyrażenie k(k+1)(k+2) dzieli się przez 3 i przez 2,
  czyli dzieli się przez 6, czyli to, co mieliśmy udowodnić, aby udowodnić zadanie.
  
  W razie pytań pisz na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie