Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 16.3.2014 (21:58)

  Proszę, przepisz rozwiązanie bez zbędnych komentarzy, ale trochę chcę objaśnić.
  Poniżej często piszę "B prim" zamiast B', bo to lepiej widać.
  
  1)
  Najpierw zamieńmy różnicę A \ B na iloczyn.
  Różnica A \ B oznacza "to, co należy do A, ale NIE należy do B"
  Ale skoro to "coś" nie należy do B, to należy do B prim (a także do A) więc:
  
  A \ B = A n B prim <------- oczywiście tylko gdy B prim jest dopełnieniem B do Omega.
  
  2)
  Z warunku: P(A∩B)= P(A) * P(B) wynika, że zdarzenia A i B są niezależne
  Chcemy udowodnić, że wtedy zdarzenia A i B prim TEŻ są niezależne,
  bo z równości (1) powyżej wynika, że trzeba udowodnić:
  
  p(A\cap B') = p(A)\cdot p(B')
  
  Dygresja, poza rozwiązaniem: To jest dość oczywiste, zobacz:
  Rzucamy 2 razy kostką.
  Zdarzenie A to "1" w pierwszym rzucie, zdarzenie B to "1" w drugim rzucie.
  Wynik drugiego rzutu NIE zależy od pierwszego rzutu, zgoda?
  Zdarzenie B prim to wynik {2,3,4,5,6} w drugim rzucie.
  Ale to zdarzenie TEŻ nie zależy od wyniku pierwszego rzutu,
  więc B prim jest też niezależne od A. I to jest nasze twierdzenie, teraz "formalizm"
  
  3)
  Wykorzystamy jeden z aksjomatów prawdopodobieństwa.
  Dla dowolnych podzbiorów X, Y, zawartych w Omega, zachodzi:
  
  p(X \cup Y) = p(X) + p(Y) - p(X\cap Y)
  
  Zrobię teraz taki ciąg przekształceń - pisz na priv w razie pytań, ale chodzi o to,
  że dzielę zbiór A na część wspólną z B i część wspólną z B prim.
  To Ci się może wydać "naciągane", ale zaraz zobaczysz, jak wstawię wynik
  do tego aksjomatu powyżej
  
  A = A\cap\Omega = A\cap(B\cup B') = (A\cap B)\,\cup \,(A\cap B')
  
  Od lewej:
  A = A n Omega bo A jest zawarte w Omega, więc mnożenie nic nie zmienia.
  Dalej
  Rozpisuję Omega na B u B prim - z definicji "primowanego" B
  Na końcu mam A n B oraz A n B prim, teraz wstawiam to do aksjomatu
  zamiast X = A n B oraz Y = A n B prim.
  Podkreślam : Wyrażam p(A) przez część p(AnB) oraz p(A n B prim).
  
  p(A) = p[(A\cap B)\,\cup \,(A\cap B')] = p(A\cap B) + p(A\cap B') - p(A\cap A\cap B\cap B')
  
  Ostatni składnik powyżej jest zerem, gdyż jest tam iloczyn B n B prim,
  co jest zbiorem pustym.
  Składnik: p(A n B) zamieniamy na p(A) * p(B) zgodnie z założeniem twierdzenia
  i mamy:
  
  p(A) = p(A)\cdot p(B) + p(A\cap B')
  
  Stąd wynika [ponieważ = 1 - p(B) = p(B prim) , zdarzenia przeciwne ], że:
  
  p(A\cap B') = p(A)\cdot [1 - p(B)] = p(A)\cdot p(B')
  
  co kończy dowód, patrz uwaga (1) o zamienianiu różnicy na iloczyn.
  
  ===============
  
  Wiem, że to trochę abstrakcyjne,
  ale pomyśl o tym przykładzie z dwoma rzutami kostką.
  Jest 36 zdarzeń elementarnych,
  A - jedynka w pierwszym rzucie, B - jedynka w drugim rzucie
  p(A) = 1/6
  p(B) = 1/6
  A n B = para (1,1) ; p(A n B) = 1/36 ale także (1/6) * (1/6), zdarzenia niezależne.
  B prim - NIE jedynka w drugim rzucie,
  p(B prim) = 5/6
  A n B prim = pary (1,2) ;(1,3); (1,4); (1,5); (1,6).
  5 par więc p(A n B prim) = 5 / 36, czyli to samo co: (1/6) * (5/6) = 5/36.
  
  Powodzenia!
  Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie