Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 6.3.2014 (11:14)

  [ Przepisuj tylko to, co uznasz za potrzebne, jest tu nadmiar komentarzy,
  ale chcę pokazać, jak rozumuję ]
  
  W załączniku jest rysunek przekroju osiowego tego stożka i kul.
  (Rysunek NIE jest "w skali", ale chodzi o ideę i mnóstwo trójkątów).
  Oznacz jeszcze długość odcinka HC przez "x", będzie łatwiej pisać.
  Czarne odcinki to promienie kul stycznych do stożka w punktach J,F, K, G,
  Punkty H i E to środki kul.
  Kąty HJC i EFC muszą być proste (warunek styczności).
  Także prosty jest kąt ADC bo CD jest wysokością równoramiennego trójkąta ABC.
  
  Metoda jest taka:
  Jak znajdziemy promień podstawy stożka (czyli |AD|) i długość tworzącej |AC|
  to ze szkolnego wzoru mamy szukane pole powierzchni P
  
  P = \pi\,|AD|\,(|AD| + |AC|)
  
  Zauważ, że jest tu dużo trójkątów podobnych, skorzystamy z tego.
  (Ja się wpatrywałem w rysunek: które trójkąty wybrać... Wcale nie jest oczywiste).
  
  Trójkąt HJC jest podobny do EFC (są prostokątne i mają wspólny kąt) ;
  z tego samego powodu jest podobny do trójkąta ADC. To wystarczy.
  
  Wiemy, że:
  |JH| = 1/2 cm
  [ UWAGA! JH to promień kuli o średnicy 1 cm więc wynosi 1/2 cm ]
  |FE| = 2 cm, powód jak wyżej.
  
  Długość odcinka HC oznaczyliśmy przez "x",
  odcinek CE składamy tak: x + 1/2 + 2 <------------ przyjrzyj się rysunkowi!
  Mamy z podobieństwa trójkątów proporcję:
  
  \frac{|FE|}{|JH|} =\frac{|CE|}{|CH|}\qquad\qquad\mbox{zatem}\qquad\qquad\frac{2}{1/2} = \frac{x+1/2+2}{x}
  
  Wymnażamy proporcję "na krzyż" i mamy:
  4x = x + 5/2 ; stąd
  x = 5/6.
  
  To daje nam:
  a) długość odcinka |CD| = 5/6 + 1/2 + 4 = 16/3
  b) stosunek promienia podstawy do tworzącej:
  |JH| / |HC| = |AD| / |AC| = (1/2) / (5/6) = 3/5
  
  Stosunek |AD| / |AC| = 3/5.... Nie przypomina Ci to czegoś?
  W prostokątnym trójkącie ADC przyprostokątna ma 3 jednostki,
  a przeciwprostokątna 5 jednostek. No to CD musi mieć 4 jednostki
  (twierdzenie Pitagorasa). A znamy już |CD|. Więc:
  
  |AC| = \frac{5}{4}\,|CD| = \frac{5}{4}\cdot \frac{16}{3} = \frac{20}{3}
  
  |AD| = \frac{5}{3}\,|CD| = \frac{5}{3}\cdot \frac{16}{3} = \frac{80}{9}
  
  To wszystko wstawiamy do podanego na początku wzoru na pole P
  
  P = \pi\,\frac{80}{9}\,\left(\frac{80}{9} + \frac{30}{3}\right) = \pi\,\frac{11200}{81} = \pi\cdot 138\,\frac{22}{81}
  
  Koniec.
  Zaręczam, że mogłem się pomylić. Zobacz mój komentarz do innego rozwiązania.

  Załączniki

  • kule_wpisane.pdf (13 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    antekL1 6.3.2014 (12:45)

    Tak, Werner wskazał mi błąd,
    |AD| oczywiście NIE jest równe 5/3 |CD| !!
    Przepraszam !