Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 24.2.2014 (11:20)

  Rysunek w załączniku jest z innego zadania, nasz ostrosłup powinien być
  sporo wyższy aby zachować proporcje:
  Długość krawędzi podstawy = a (są to długości odcinków AB, AC i CB,
  wszystkie takie same bo podstawą jest trójkąt równoboczny
  gdyż ostrosłup jest prawidłowy.
  Długości krawędzi bocznych (AD, BD, CD) są równe i wynoszą 3a.
  
  Płaszczyzna, o której mowa w zadaniu to trójkąt CED (kątem alfa się nie
  przejmuj, jest z innego zadania, tutaj niepotrzebny). Zauważ, że pole tego trójkąta
  obliczymy, jeżeli będziemy znali długość jego podstawy CE i wysokość OD.
  Dążymy do znalezienia tych długości.
  
  Liczymy |CE|. Punkt E jest środkiem noku AB więc w równobocznym trójkącie ABC jest jednocześnie jego środkową i wysokością i kąt CEB jest prosty. Z tw. Pitagorasa mamy:
  
  |CE|=\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} = a\,\frac{\sqrt{3}}{2}
  
  Liczymy |OD|. Trójkąt COD jest prostokątny, użyjemy Pitagorasa, ale potrzeba |OC|.
  Korzystamy z tego, że CE jest także środkową i punkt O jest środkiem trójkąta ABC
  więc |OC| = (2/3) |CE| (środek trójkąta dzieli środkową w stosunku 2 : 1)
  
  |OC| = \frac{2}{3}\cdot a\,\frac{\sqrt{3}}{2} = a\,\frac{\sqrt{3}}{3}
  
  Z tw. Pitagorasa:
  
  |OD|=\sqrt{(3a)^2 - \left(a\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=a\,\sqrt{\frac{26}{3}}
  
  Ostatni krok - liczymy pole P trójkąta CED
  
  P = \frac{1}{2}\,|CE|\,|OD| = \frac{1}{2}\cdot a\,\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a\,\sqrt{\frac{26}{3}} = a^2\,\sqrt{\frac{13}{2}}
  
  Mam nadzieję, że się nie pomyliłem w tych pierwiastkach, ale metoda jest ok.
  W rozwiązaniu zamieść (lepszy) rysunek, te wzory, a z komentarzy to, co chcesz,
  ale nie za dużo, bo się nauczyciel zorientuje, że rozwiązanie jest przepisane. :))

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie