Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 4.2.2014 (17:27)

  Dziedziną funkcji są x > 0.
  Aby znaleźć wymagane punkty trzeba policzyć drugą pochodną.
  Różniczkujemy raz (funkcja y = z^2 gdzie z = ln x)
  Ze wzoru na pochodną funkcji złożonej:
  
  y'(z(x)) = y'(z) \cdot z'(x) = \left(z^2\right)' \cdot \left(\ln x\right)' = 2z\cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x}
  
  i drugi raz już teraz ze wzoru na pochodną ilorazu:
  
  y'' = 2\,\frac{\left(\ln x\right)'\cdot x - \ln x\cdot (x)'}{x^2} = 2\,\frac{\frac{x}{x}-\ln x}{x^2} = 2\,\frac{1-\ln x}{x^2}
  
  Druga pochodna jest zerem gdy 1 - ln x = 0 czyli:
  Punkt przegięcia jest w x = e.
  
  Dla x < e jest: ln x < 1 czyli 1 - ln x > 0
  Dla x > e jest: ln x > 1 czyli 1 - ln x < 0
  
  Jak już pisałem - nie wiem, kiedy funkcja jest wklęsła, kiedy wypukła,
  ale jeżeli wypukła jest gdy y'' > 0 to funkcja z zadania:
  jest wypukła w przedziale x należy do (0, e)
  i wklęsła w przedziale x należy do (e, +oo).

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie