Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 4.2.2014 (23:13)

  Ruch parametryczny :
  x(t) = - 1/4t^4 - 2/3t^3
  y(t) = 1/5t^5 -t^2
  
  Oblicz v(x) i as(t) .
  
  Prędkość w kierunku X łatwo policzyć różniczkując x(t) po czasie:
  
  V_x(t) = \frac{dx(t)}{dt} = \frac{d}{dt}\left(-\frac{t^4}{4}-\frac{2t^3}{3}\right)=-t^3 - 2t^2
  
  Przy okazji policzymy też Vy, przyda się za chwilę do przyspieszenia:
  
  V_y(t) = \frac{dy(t)}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^5}{5} - t^2\right) = t^4 - 2t
  
  Przyspieszenie styczne jest definiowane jako:
  
  a_s = \frac{d^2 s}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{ds}{dt}\right)
  
  gdzie ds jest bardzo krótkim fragmentem toru ciała.
  Jeśli zapiszemy przez dx oraz dy zmiany w położeniu ciała na obu osiach to:
  
  \frac{ds}{dt} = \frac{\sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}}{dt}= \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}= \sqrt{V_x^2 + V_y^2}
  
  Obie składowe prędkości mamy już policzone, wstawiamy je do wzoru:
  
  \frac{ds}{dt} = \sqrt{\left(-t^3 - 2t^2\right)^2 + \left(t^4 - 2t\right)^2}= \sqrt{t^8+t^6+4t^4+4t^2}
  
  i teraz to jeszcze trzeba raz zróżniczkować po czasie.
  Pierwiastek po zróżniczkowaniu daje 1 / (2 * pierwiastek(...)),
  w środku mamy łatwy wielomian. Jak się to policzy, wychodzi:
  
  a_s(t) = \frac{4t^7+3t^5 + 8t^3+4t}{\sqrt{t^8+t^6 + 4t^4 + 4t^2}}
  
  Brrr!
  Mam nadzieję, że się nie pomyliłem...

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie